Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 40 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (латунь) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 70 mm и E = 100 GPa. Длина обоих — 600 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 80 kN. Найдите укорочение δ.

P = 80 kNстержень: Ø40 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 30 mm, длиной 600 mm и E = 200 GPa и участок (бронза) диаметром 30 mm, длиной 200 mm и E = 110 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 100 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaучасток 2: бронза, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (сталь) длиной 0,5 m передаёт крутящий момент 2000 N·m. Угол закручивания между его концами не должен превышать 1°. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий этому условию.

T = 2000 N·mL = 0,5 mG = 80 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 15 kW при 1450 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 50 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 15 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mw = 4 kN/m от 0 до 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

30 kN @ 0 m40 kN @ 12 m15 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 40 MPa при растяжении и 90 MPa при сжатии. Найдите наибольший отрицательный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка (укажите его величину).

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 90 MPa, σᵧ = −50 MPa и τₓᵧ = −10 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 90 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 20 MPa, σᵧ = −50 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 15° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = 20 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 100 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/250. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 1 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 100 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. Она должна выдерживать 5 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 5 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,04812 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·7461 = 9,975 × 10⁸ N

Укорочение

δ = 80000·600/9,975 × 10⁸ = 0,04812 mm

Ответ

δ = 0,04812 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 88,09 MPa

Жёсткости

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 110000·706,9/200 = 388772 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 100000·388772/624392 = 62264 N

Напряжение

σ₂ = 62264/706,9 = 88,09 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 88,09 MPa

3.Кручение валов

Ответ: d = 51,97 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Требуемый полярный момент инерции

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·500/(80000·0,01745) = 716197 mm⁴

Диаметр

d = (32J/π)^1/4 = 51,97 mm

Ответ

d = 51,97 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

4.Кручение валов

Ответ: d = 21,59 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·98786/(π·50)) = 21,59 mm

Ответ

d = 21,59 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 13,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·6·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Рассеките в x = 1,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 12·1,5 − 4·1,5·0,75 = 13,5 kN·m

Ответ

M_x = 13,5 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: F (x = 10 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 87,5 kN, R₂ = 102,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −60, M_C = 25, M_D = 50, M_E = 15, M_F = −80 kN·m, M_G = 0

Ответ

Отметка F: M_F = −80 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 26,55 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

стенка: A_w = 10·240 = 2400 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·247,5 + 2400·120)/3900 = 169 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·15³/12 + 1500·(247,5 − 169)² = 9,262 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·240³/12 + 2400·(120 − 169)² = 1,729 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,262 × 10⁶ + 1,729 × 10⁷ = 2,655 × 10⁷ mm⁴ = 26,55 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 26,55 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 24,99 kN·m

Центр тяжести

ȳ = (7800·255 + 3360·120)/11160 = 214,4 mm

верхняя кромка: c = 270 − 214,4 = 55,65 mm

Момент инерции сечения

I = 260·30³/12 + 7800·40,65² + 14·240³/12 + 3360·94,35² = 5,951 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Отрицательный момент: верх растянут, низ сжат.

верхняя кромка: M = 40·5,951 × 10⁷/55,65 = 42,78 kN·m

нижняя кромка: M = 90·5,951 × 10⁷/214,4 = 24,99 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 24,99 kN·m (нижняя кромка)

Ответ

M_allow = 24,99 kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 70,71 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((90 − −50)/2)² + −10²) = 70,71 MPa

Ответ

τ_max = 70,71 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 30,31 MPa

Формула преобразования

σ_θ = −15 + 35·0,866 + 30·0,5 = 30,31 MPa

Ответ

σ_θ = 30,31 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 2,339 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 2,339 mm

Ответ

δ_max = 2,339 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 197,2 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/250 = 6000/250 = 24 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·6000⁴/(384·11000·24) = 6,392 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·6,392 × 10⁷/100)^1/3 = 197,2 mm

Ответ

h_req = 197,2 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 33,69 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·5000 = 5000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/5000² = 33688 N = 33,69 kN

Ответ

P_cr = 33,69 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 72,94 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·5000 = 15000 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·8000²/(π³·70000))^(1/4) = 72,94 mm

Ответ

d = 72,94 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 438,7, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials