Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (алюминий) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 10 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 80 kNучасток 1: Ø35 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)участок 2: Ø12 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Полый вал должен передавать крутящий момент 1000 N·m. Его внутренний диаметр должен составлять 0,5 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 80 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 75 kW при 1000 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 75 kWN = 1000 rpmd_o = 100 mmd_i = 80 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1 m за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P₁ между опорами и сосредоточенной силой P₂ в C. Найдите поперечную силу V_x сразу слева от опоры B. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP₁ = 50 kN в 1 mP₂ = 30 kN в 6 mопоры при x = 0 и x = 5 m

V_x = kN

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите расстояние x₀ от A до сечения, в котором изгибающий момент наибольший.

L = 8 mw = 4 kN/m от 0 до 4 m

x₀ = m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 200 mm × 300 mm имеет круглое отверстие диаметром 30 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 210 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 300 mmd = 30 mmцентр отверстия: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 180 × 16 mm, стенку высотой 330 mm и толщиной 8 mm и нижнюю полку 210 × 16 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 180 × 16 mmстенка: 8 × 330 mmнижняя полка: 210 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 140 MPa, σᵧ = 10 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 140 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = −10 MPa, σᵧ = −20 MPa и τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Предел текучести материала равен 350 MPa. Найдите коэффициент запаса по текучести n по критерию Треска (наибольших касательных напряжений).

σ_x = −10 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 20 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 150 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 2,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 150 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 18189 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 100·1000/78,54 = 1273 MPa

Деформация (закон Гука)

E for алюминий = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1273/70000 = 0,01819 = 18189 µε

Ответ

ε = 18189 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 707,4 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 83,15 MPa

σ₂ = 707,4 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 707,4 MPa

Ответ

σ_max = 707,4 MPa

3.Кручение валов

Ответ: d_o = 40,8 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·80·0,9375)) = 40,8 mm

d_i = 0,5·40,8 = 20,4 mm

Ответ

d_o = 40,8 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 39,93 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 6,178 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Полярный момент инерции

J = π(100⁴ − 80⁴)/32 = 5,796 × 10⁶ mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 716197·50/5,796 × 10⁶ = 6,178 MPa

Ответ

τ_max = 6,178 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: V_x = −16 kN

Опорные реакции

Равновесие всей балки. Сила на консольном свесе тоже создаёт момент относительно A.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1 + 30·6

R_B = 230/5 = 46 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 46 = 34 kN

Сечение сразу слева от B, оставляем левую часть

V_x = R_A − P₁ = 34 − 50 = −16 kN

Ответ

V_x = −16 kN

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: x₀ = 3 m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·4·2

R_B = 32/8 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 4 = 12 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с R_A, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 12/4 = 3 m

Ответ

x₀ = 3 m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 447,4 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (60000·150 − 706,9·210)/(60000 − 706,9) = 149,3 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·300³/12 + 60000·0,7153² = 450 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·60,72² = 2,645 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 447,4 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 447,4 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 210,1 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 2880 mm², y = 354 mm

стенка: A = 2640 mm², y = 181 mm

нижняя полка: A = 3360 mm², y = 8 mm

Центр тяжести

ȳ = (2880·354 + 2640·181 + 3360·8)/8880 = 171,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 180·16³/12 + 2880·182,4² = 9,583 × 10⁷ mm⁴

стенка: 8·330³/12 + 2640·9,351² = 2,419 × 10⁷ mm⁴

нижняя полка: 210·16³/12 + 3360·163,6² = 9,006 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,583 × 10⁷ + 2,419 × 10⁷ + 9,006 × 10⁷

I_x = 2,101 × 10⁸ mm⁴ = 210,1 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 210,1 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 71,59 MPa

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((140 − 10)/2)² + 30²) = 71,59 MPa

Ответ

τ_max = 71,59 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: n = 8,489

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = −15 MPa, R = 20,62 MPa

σ₁ = 5,616 MPa, σ₂ = −35,62 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 41,23 MPa

n = 350/41,23 = 8,489

Ответ

n = 8,489

n > 1 означает, что в точке нет текучести; критерий Треска немного консервативнее критерия Мизеса.

11.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 10,63 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 10,63 mm

Ответ

δ_max = 10,63 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 154 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·3500⁴/(384·11000·9,722) = 4,568 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·4,568 × 10⁷/150)^1/3 = 154 mm

Ответ

h_req = 154 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 79,31 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/1400² = 79309 N = 79,31 kN

Ответ

P_cr = 79,31 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 47,98 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/12,5 = 120

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47,98 MPa

Ответ

σ_cr = 47,98 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials