Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (латунь) под действием осевой нагрузки.

P = 45 kNd = 20 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 60 kNучасток 1: Ø40 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)участок 2: Ø16 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Полый вал должен передавать крутящий момент 2000 N·m. Его внутренний диаметр должен составлять 0,7 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 60 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

T = 2000 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (алюминий) передаёт 20 kW при 500 rpm. Касательное напряжение не должно превышать 80 MPa, а угол закручивания — 0,25° на 1 m длины. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий обоим условиям.

P = 20 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mw = 5 kN/m от 0 до 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 6 mP = 30 kN в 1 mw = 4 kN/m от 0 до 6 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 120 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 70 mm. Толщина основания и полок 10 mm. Найдите высоту ȳ центра тяжести над нижней кромкой.

b = 120 mmh = 70 mmt = 10 mm

ȳ = mm

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 150 mm × 240 mm имеет прямоугольный вырез шириной 80 mm и высотой 40 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 84 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 240 mmвырез: 80 × 40 mmцентр отверстия: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 110 MPa, σᵧ = 50 MPa и τₓᵧ = −50 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_s в пределах от −90° до 90° от оси x до нормали к площадке, на которой касательное напряжение достигает наибольшего положительного значения +R (касательное напряжение положительно в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 110 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = −30 MPa, σᵧ = −30 MPa и τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Найдите эквивалентное напряжение по Мизесу σ_vM.

σ_x = −30 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −60 MPa

σ_vM = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (алюминий)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 15 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (алюминий)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюминий)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 50 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 50 kNn = 2,5L = 1 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 2,865 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 45·1000/314,2 = 143,2 MPa

Деформация (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 143,2/100000 = 0,001432 = 1432 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,001432·2000 mm = 2,865 mm

Ответ

δ = 2,865 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 298,4 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 47,75 MPa

σ₂ = 298,4 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 298,4 MPa

Ответ

σ_max = 298,4 MPa

3.Кручение валов

Ответ: d_o = 60,68 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·60·0,7599)) = 60,68 mm

d_i = 0,7·60,68 = 42,47 mm

Ответ

d_o = 60,68 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 55,37 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

4.Кручение валов

Ответ: d = 76,53 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Диаметр из условия прочности

T = 382 N·m = 381972 N·mm

d_τ = ∛(16·381972/(π·80)) = 28,97 mm

Диаметр из условия жёсткости

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·381972/(π·26000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 76,53 mm

Определяющий диаметр

Должны выполняться оба условия, поэтому определяющим является больший диаметр.

d = max(28,97, 76,53) = 76,53 mm

Ответ

d = 76,53 mm

Здесь определяющим является условие жёсткости.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 10 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·5·2,5

R_B = 62,5/5 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 12,5 = 12,5 kN

Рассеките в x = 1 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 12,5·1 − 5·1·0,5 = 10 kN·m

Ответ

M_x = 10 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 36,13 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·1 + 4·6·3

R_B = 102/6 = 17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 54 − 17 = 37 kN

Где V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (37 − 30)/4 = 1,75 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 36,13 kN·m

Ответ

M_max = 36,13 kN·m

Он достигается при x = 1,75 m от A.

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: ȳ = 22,5 mm

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 120·10 = 1200 mm², y₁ = 5 mm

две полки: A₂ = 2·10·60 = 1200 mm², y₂ = 10 + 60/2 = 40 mm

Центр тяжести

ȳ = (1200·5 + 1200·40)/2400 = 22,5 mm

Ответ

ȳ = 22,5 mm

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 167,8 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (36000·120 − 3200·84)/(36000 − 3200) = 123,5 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·240³/12 + 36000·−3,512² = 173,2 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

80·40³/12 + 3200·−39,51² = 5,423 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 167,8 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 167,8 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_s = −74,52 °

Угол на круге

На круге Мора верхняя точка (+R) отстоит от главной точки σ₁ на 90°; на элементе это соответствует 45°.

cos 2θ_s = −50/58,31 = −0,8575, sin 2θ_s = −30/58,31 = −0,5145

2θ_s = atan2(−30, −50) = −149°

Угол на элементе

θ_s = −74,52°

проверка: θ_s − θ_p = −74,52 − (−29,52) = −45°

Ответ

θ_s = −74,52°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_vM = 108,2 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = −30 MPa, R = 60 MPa

σ₁ = 30 MPa, σ₂ = −90 MPa, σ₃ = 0

Мизес

σ_vM = √(30² − 30·(−90) + (−90)²) = 108,2 MPa

Ответ

σ_vM = 108,2 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,04286 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 12·6000³/(24·2,52 × 10¹²) = 0,04286 rad

Ответ

θ_A = 0,04286 rad

Это 2,456°.

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 514,3 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·8000⁴/(384·70000·22,22) = 5,143 × 10⁸ mm⁴

I_req = 514,3 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 514,3 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 347,3 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2000² = 347270 N = 347,3 kN

Ответ

P_cr = 347,3 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 33,7 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·50000 = 125000 N

KL = 1·1000 = 1000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 33,7 mm

Ответ

d = 33,7 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 118,7, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials