Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (латунь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 45 kNучасток 1: Ø25 mm, 1,5 m, сталь (E = 200 GPa)участок 2: Ø12 mm, 1,5 m, алюминий (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

При испытании на кручение сплошной образец диаметром 20 mm закручивается моментом 40 N·m. Концы расчётной длины 250 mm поворачиваются друг относительно друга на 0,94° (материал ещё работает упруго). Найдите модуль сдвига G материала.

T = 40 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 0,94°

G = GPa

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (сталь) передаёт 20 kW при 750 rpm. Касательное напряжение не должно превышать 75 MPa, а угол закручивания — 0,5° на 1 m длины. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий обоим условиям.

P = 20 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M₀ = 30 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 2 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент M_x сразу слева от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mM₀ = 30 kN·m по часовой стрелке, в точке 2 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

40 kN @ 6 m40 kN @ 3 m15 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 150 mm × 300 mm имеет круглое отверстие диаметром 50 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 105 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 300 mmd = 50 mmцентр отверстия: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 15 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 100 mmM = 15 kN·m

σ_низ = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 0 MPa, σᵧ = 50 MPa и τₓᵧ = 10 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 0 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Сплошной вал диаметром 25 mm нагружен осевой растягивающей силой 30 kN вместе с крутящим моментом 100 N·m. На поверхности вала найдите наибольшее главное напряжение σ₁.

d = 25 mmF = 30 kNT = 100 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 2,5 m от A. Найдите прогиб δ_B свободного конца B.

P = 5 kNa = 2,5 mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 50 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 1 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 50 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. Она должна выдерживать 85 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 85 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 5093 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 40·1000/78,54 = 509,3 MPa

Деформация (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 509,3/100000 = 0,005093 = 5093 µε

Ответ

ε = 5093 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 397,9 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 91,67 MPa

σ₂ = 397,9 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 397,9 MPa

Ответ

σ_max = 397,9 MPa

3.Кручение валов

Ответ: G = 38,8 GPa

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции и угол

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0,94·π/180 = 0,01641 rad

Модуль сдвига

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·250/(15708·0,01641) = 38804 MPa

G = 38,8 GPa

Ответ

G = 38,8 GPa

Для сравнения: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюминий ≈ 26 GPa.

4.Кручение валов

Ответ: d = 43,9 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Диаметр из условия прочности

T = 254,6 N·m = 254648 N·mm

d_τ = ∛(16·254648/(π·75)) = 25,86 mm

Диаметр из условия жёсткости

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·254648/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 43,9 mm

Определяющий диаметр

Должны выполняться оба условия, поэтому определяющим является больший диаметр.

d = max(25,86, 43,9) = 43,9 mm

Ответ

d = 43,9 mm

Здесь определяющим является условие жёсткости.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −10 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: R_B·L − M₀ = 0. Равновесие по вертикали: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 30/6 = 5 kN (вверх)

R_A = −R_B = −5 kN (вниз)

Сечение сразу слева от сосредоточенного момента

Левая часть содержит только R_A.

M_x = R_A·a = −5·2 = −10 kN·m

Ответ

M_x = −10 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 3 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 45,5 kN, R₂ = 109,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 38, M_C = 61, M_D = 69 kN·m, M_E = 22, M_F = −40, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 69 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 333 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (45000·150 − 1963·105)/(45000 − 1963) = 152,1 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·300³/12 + 45000·−2,053² = 337,7 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−47,05² = 4,654 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 333 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 333 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 262 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107,5 mm

стенка: A_w = 18·100 = 1800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·107,5 + 1800·50)/3600 = 78,75 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 120·15³/12 + 1800·(107,5 − 78,75)² = 1,522 × 10⁶ mm⁴

стенка: 18·100³/12 + 1800·(50 − 78,75)² = 2,988 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,522 × 10⁶ + 2,988 × 10⁶ = 4,509 × 10⁶ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 78,75 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·78,75/4,509 × 10⁶ = 262 MPa

Ответ

σ_низ = 262 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 26,93 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((0 − 50)/2)² + 10²) = 26,93 MPa

Ответ

τ_max = 26,93 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ₁ = 75,24 MPa

Напряжения на поверхности

σ = F/A = 30000/(π·25²/4) = 30000/490,9 = 61,12 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·25³) = 32,59 MPa

Круг Мора

C = σ/2 = 30,56 MPa

R = √(30,56² + 32,59²) = 44,68 MPa

σ₁ = C + R = 75,24 MPa

σ₂ = C − R = −14,12 MPa

Ответ

σ₁ = 75,24 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_B = 77,5 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 5000 N, a = 2500 mm, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δ_P = Pa³/(3EI) = 31 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0186 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 77,5 mm

Ответ

δ_B = 77,5 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 140,3 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·3000⁴/(384·11000·8,333) = 1,151 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·1,151 × 10⁷/50)^1/3 = 140,3 mm

Ответ

h_req = 140,3 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 93,58 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/750² = 93578 N = 93,58 kN

Ответ

P_cr = 93,58 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 181,4 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·85000 = 255000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·12000²/(π³·70000))^(1/4) = 181,4 mm

Ответ

d = 181,4 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 264,6, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials