Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 30 mm, длиной 300 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (латунь) диаметром 60 mm, длиной 400 mm и E = 100 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,2 mm.

участок 1: сталь, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaучасток 2: латунь, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 110 kNучасток 1: Ø25 mm, 2 m, медь (E = 117 GPa)участок 2: Ø16 mm, 0,5 m, медь (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Ступенчатый сплошной вал (сталь) заделан в A. Участок AB имеет диаметр 75 mm и длину 3 m; участок BC — диаметр 50 mm и длину 0,8 m. На свободном конце C действует крутящий момент 200 N·m. Найдите угол закручивания φ_C конца C в градусах.

T = 200 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 3 md₂ = 50 mm, L₂ = 0,8 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 50 kW при 1800 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 50 kWN = 1800 rpmd_o = 60 mmd_i = 42 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

60 kN @ 4 m15 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

15 kN @ 0 m30 kN @ 6 m40 kN @ 3 m5 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 50 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 100 mmM = 50 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 60 MPa и τₓᵧ = 40 MPa, σ_z = 0. Найдите абсолютное наибольшее касательное напряжение τ_abs в точке (с учётом всех площадок в трёх измерениях).

σ_x = 70 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = −60 MPa, σᵧ = −50 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (растяжение положительно). Найдите касательное напряжение τ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 30° по часовой стрелке от оси x (положительное в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = −60 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 2,5 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 8 kNa = 2,5 mL = 6 mE = 70 GPa (алюминий)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 18 kNw = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Она должна выдерживать 140 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 140 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 56,55 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·2827) = 1,415 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,2/3,537 × 10⁻⁶ = 56549 N = 56,55 kN

Ответ

P = 56,55 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 6,169 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 224,1 MPa

σ₂ = 547,1 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 224,1·2000/117000 = 3,831 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 547,1·500/117000 = 2,338 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,169 mm

Ответ

δ = 6,169 mm

3.Кручение валов

Ответ: φ_C = 0,3251 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярные моменты инерции

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Угол закручивания каждого участка

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 200000·3000/(80000·3,106 × 10⁶) = 0,002414 rad

φ_BC = 200000·800/(80000·613592) = 0,003259 rad

Полный угол закручивания

φ_C = 0,002414 + 0,003259 = 0,005674 rad = 0,3251°

Ответ

φ_C = 0,3251°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 8,231 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Полярный момент инерции

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 265258·30/966855 = 8,231 MPa

Ответ

τ_max = 8,231 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 45 kN, R₂ = 30 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 90, M_C = 180 kN·m, M_D = 150, M_E = 120, M_F = 60, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 180 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: F (x = 5 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 41,25 kN, R₂ = 63,75 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = −15, M_C = 8,75, M_D = 27,5, M_E = 1,25, M_F = −30 kN·m, M_G = 0

Ответ

Отметка F: M_F = −30 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 42,11 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

стенка: A_w = 18·240 = 4320 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·245 + 4320·120)/6320 = 159,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 200·10³/12 + 2000·(245 − 159,6)² = 1,462 × 10⁷ mm⁴

стенка: 18·240³/12 + 4320·(120 − 159,6)² = 2,75 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,462 × 10⁷ + 2,75 × 10⁷ = 4,211 × 10⁷ mm⁴ = 42,11 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 42,11 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 265 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107,5 mm

стенка: A_w = 16·100 = 1600 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·107,5 + 1600·50)/4900 = 88,72 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 220·15³/12 + 3300·(107,5 − 88,72)² = 1,225 × 10⁶ mm⁴

стенка: 16·100³/12 + 1600·(50 − 88,72)² = 3,733 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,225 × 10⁶ + 3,733 × 10⁶ = 4,958 × 10⁶ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 115 − 88,72 = 26,28 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·26,28/4,958 × 10⁶ = 265 MPa

Ответ

σ_верх = 265 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_abs = 52,66 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. В трёх измерениях абсолютное наибольшее касательное напряжение равно (σ_max − σ_min)/2 по всем трём главным напряжениям; при плоском напряжённом состоянии третье из них равно нулю.

Главные напряжения в плоскости

C = 65 MPa, R = √(5² + 40²) = 40,31 MPa

σ₁ = 105,3 MPa, σ₂ = 24,69 MPa, σ_z = 0

Наибольший из трёх кругов

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(80,62, 105,3, 24,69)/2 = 52,66 MPa

Ответ

τ_abs = 52,66 MPa

Здесь определяющим является круг вне плоскости: абсолютный максимум больше максимума в плоскости R.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_θ = 10,67 MPa

Формула преобразования

τ_θ = −−5·−0,866 + 30·0,5 = 10,67 MPa

Ответ

τ_θ = 10,67 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 40,51 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 8000 N, a = 2500 mm, b = 3500 mm, L = 6000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 8000·2500²·3500²/(3·8,4 × 10¹¹·6000) = 40,51 mm

Ответ

δ_P = 40,51 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 7,087 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 18000 N, w = 8 N/mm, L = 1500 mm, EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 18000·1500³/(48·2,53 × 10¹¹) = 5,002 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·1500⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 2,084 mm

Сложите

δ_max = 5,002 + 2,084 = 7,087 mm

Ответ

δ_max = 7,087 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 16,82 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·1500 = 1500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1500² = 16822 N = 16,82 kN

Ответ

P_cr = 16,82 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 75,51 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 75,51 mm

Ответ

d = 75,51 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 158,9, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials