Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 20 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (медь) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 60 mm и E = 120 GPa. Длина обоих — 800 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 300 kN. Найдите укорочение δ.

P = 300 kNстержень: Ø20 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Стержень (сталь) диаметром 40 mm с E = 200 GPa и допускаемым напряжением 150 MPa находится внутри трубы (медь) с наружным диаметром 100 mm, внутренним диаметром 60 mm, E = 120 GPa и допускаемым напряжением 80 MPa. Они вместе сжимаются между жёсткими плитами. Найдите наибольшую нагрузку P_max.

стержень: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Кручение валовСредняя

Ступенчатый сплошной вал (алюминий) заделан в A. Участок AB имеет диаметр 40 mm и длину 1,2 m; участок BC — диаметр 25 mm и длину 0,8 m. На свободном конце C действует крутящий момент 250 N·m. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

T = 250 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 25 mm, L₂ = 0,8 m

τ_max = MPa

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 20 kW при 750 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 50 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 20 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 8 mP₁ = 80 kN в 1 mP₂ = 50 kN в 2 m

M_max = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1,5 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_max между опорами.

L = 6,5 mw = 4 kN/m от 0 до 6,5 mопоры при x = 0 и x = 5 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 50 MPa при растяжении и 90 MPa при сжатии. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 80 MPa, σᵧ = 90 MPa и τₓᵧ = 10 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 80 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = −30 MPa, σᵧ = 40 MPa и τₓᵧ = −40 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 15° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = −30 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1,5 m от A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 30 kNa = 1,5 mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 125 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/250. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 1,5 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 125 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,2221 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·8482 = 1,081 × 10⁹ N

Укорочение

δ = 300000·800/1,081 × 10⁹ = 0,2221 mm

Ответ

δ = 0,2221 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P_max = 569,7 kN

Площади

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5027 = 8,545 × 10⁸ N

Определяющая деформация

ε = min(0,00075, 0,0006667) = 0,0006667 (медь)

Наибольшая нагрузка

P_max = 0,0006667·8,545 × 10⁸ = 569675 N = 569,7 kN

Ответ

P_max = 569,7 kN

3.Кручение валов

Ответ: τ_max = 81,49 MPa

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Напряжение на каждом участке

T = 250 N·m = 250000 N·mm

τ_AB = 16·250000/(π·40³) = 19,89 MPa

τ_BC = 16·250000/(π·25³) = 81,49 MPa

Ответ

τ_max = 81,49 MPa

4.Кручение валов

Ответ: d = 29,6 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·254648/(π·50)) = 29,6 mm

Ответ

d = 29,6 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 135 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 80·1 + 50·2

R_B = 180/8 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 130 − 22,5 = 107,5 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·1 = 107,5·1 = 107,5 kN·m

под P₂: M = R_B·6 = 22,5·6 = 135 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 135 kN·m (под P₂)

Ответ

M_max = 135 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 10,35 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·6,5 = 26 kN, приложена в x̄ = 3,25 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·6,5·3,25

R_B = 84,5/5 = 16,9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 26 − 16,9 = 9,1 kN

Нулевая поперечная сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 9,1/4 = 2,275 m

Наибольший положительный момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 9,1²/(2·4) = 10,35 kN·m

Ответ

M_max = 10,35 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 46,34 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

стенка: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·230 + 3520·110)/9520 = 185,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 300·20³/12 + 6000·(230 − 185,6)² = 1,201 × 10⁷ mm⁴

стенка: 16·220³/12 + 3520·(110 − 185,6)² = 3,433 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,201 × 10⁷ + 3,433 × 10⁷ = 4,634 × 10⁷ mm⁴ = 46,34 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 46,34 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 17,67 kN·m

Центр тяжести

ȳ = (2400·270 + 5200·130)/7600 = 174,2 mm

верхняя кромка: c = 280 − 174,2 = 105,8 mm

Момент инерции сечения

I = 120·20³/12 + 2400·95,79² + 20·260³/12 + 5200·44,21² = 6,156 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Положительный момент: верх сжат, низ растянут.

верхняя кромка: M = 90·6,156 × 10⁷/105,8 = 52,37 kN·m

нижняя кромка: M = 50·6,156 × 10⁷/174,2 = 17,67 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 17,67 kN·m (нижняя кромка)

Ответ

M_allow = 17,67 kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 11,18 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((80 − 90)/2)² + 10²) = 11,18 MPa

Ответ

τ_max = 11,18 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = −45,31 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 5 + −35·0,866 + −40·0,5 = −45,31 MPa

Ответ

σ_θ = −45,31 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 2,009 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 30000 N, a = 1500 mm, L = 3000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa³/(3EI) = 30000·1500³/(3·1,68 × 10¹³) = 2,009 mm

Ответ

δ_P = 2,009 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 157,2 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·4500⁴/(384·11000·18) = 4,045 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·4,045 × 10⁷/125)^1/3 = 157,2 mm

Ответ

h_req = 157,2 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 319,8 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/1500² = 319848 N = 319,8 kN

Ответ

P_cr = 319,8 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 7,896 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Ответ

σ_cr = 7,896 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials