Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 25 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (латунь) с наружным диаметром 100 mm, внутренним диаметром 50 mm и E = 100 GPa. Длина обоих — 500 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 50 kN. Найдите укорочение δ.

P = 50 kNстержень: Ø25 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 90 kNучасток 1: Ø30 mm, 0,5 m, медь (E = 117 GPa)участок 2: Ø20 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Ступенчатый сплошной вал (сталь) заделан в A. Участок AB имеет диаметр 60 mm и длину 1,5 m; участок BC — диаметр 50 mm и длину 2,5 m. На свободном конце C действует крутящий момент 750 N·m. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

T = 750 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 50 mm, L₂ = 2,5 m

τ_max = MPa

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 75 kW при 300 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 50 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 75 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

35 kN @ 4 m40 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

25 kN @ 0 m30 kN @ 12 m30 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 120 mm × 240 mm имеет круглое отверстие диаметром 40 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 168 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 240 mmd = 40 mmцентр отверстия: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 120 mm × 150 mm имеет прямоугольный вырез шириной 40 mm и высотой 50 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 45 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 150 mmвырез: 40 × 50 mmцентр отверстия: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = −80 MPa, σᵧ = 10 MPa и τₓᵧ = −60 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = −80 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Тонкостенный цилиндрический резервуар с внутренним диаметром 800 mm и толщиной стенки 8 mm содержит газ под избыточным давлением 0,5 MPa. Он изготовлен из листа, сваренного по винтовому шву под углом 60° к оси цилиндра. Найдите величину касательного напряжения |τ_n|, действующего вдоль сварного шва.

D = 800 mmt = 8 mmp = 0,5 MPaα = 60°

|τ_n| = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена сосредоточенной силой P в середине пролёта. EI постоянна. Найдите реакцию R_B опоры B.

L = 3 mP = 20 kN в 1,5 m

R_B = kN

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,03638 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·5890 = 6,872 × 10⁸ N

Укорочение

δ = 50000·500/6,872 × 10⁸ = 0,03638 mm

Ответ

δ = 0,03638 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 6,274 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 127,3 MPa

σ₂ = 286,5 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 127,3·500/117000 = 0,5441 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 286,5·2000/100000 = 5,73 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,274 mm

Ответ

δ = 6,274 mm

3.Кручение валов

Ответ: τ_max = 30,56 MPa

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Напряжение на каждом участке

T = 750 N·m = 750000 N·mm

τ_AB = 16·750000/(π·60³) = 17,68 MPa

τ_BC = 16·750000/(π·50³) = 30,56 MPa

Ответ

τ_max = 30,56 MPa

4.Кручение валов

Ответ: d = 62,42 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·2,387 × 10⁶/(π·50)) = 62,42 mm

Ответ

d = 62,42 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 18,33 kN, R₂ = 56,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 18,33, M_C = 36,67, M_D = 55, M_E = 73,33 kN·m, M_F = 56,67, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 73,33 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: F (x = 10 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 38,75 kN, R₂ = 46,25 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = −50, M_C = −22,5, M_D = 5, M_E = −27,5, M_F = −60 kN·m, M_G = 0

Ответ

Отметка F: M_F = −60 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 135,1 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (28800·120 − 1257·168)/(28800 − 1257) = 117,8 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·240³/12 + 28800·2,19² = 138,4 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·50,19² = 3,291 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 135,1 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 135,1 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 31,31 × 10⁶ mm⁴

Центр тяжести

ȳ = (18000·75 − 2000·45)/(18000 − 2000) = 78,75 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·150³/12 + 18000·−3,75² = 34 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

40·50³/12 + 2000·−33,75² = 2,695 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 31,31 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 31,31 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 75 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((−80 − 10)/2)² + −60²) = 75 MPa

Ответ

τ_max = 75 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: |τ_n| = 5,413 MPa

Напряжения в стенке

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 0,5·400/8 = 25 MPa

σ_a = pr/(2t) = 12,5 MPa

Преобразование к шву

Направьте x вдоль оси (σ_a), а y по окружности (σ_h). Нормаль к шву составляет с осью угол 90° − α.

|τ_n| = (25 − 12,5)·sin 60°·cos 60° = 5,413 MPa

Ответ

|τ_n| = 5,413 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 3,81 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 2·4000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 3,81 mm

Ответ

δ = 3,81 mm

12.Прогиб балки

Ответ: R_B = 6,25 kN

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·20/16 = 6,25 kN

Ответ

R_B = 6,25 kN

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 63,97 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/3000² = 63970 N = 63,97 kN

Ответ

P_cr = 63,97 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 4,441 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/15 = 666,7

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666,7² = 4,441 MPa

Ответ

σ_cr = 4,441 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials