Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Понижающий преобразователь преобразует 15 V в 4,5 V при нагрузке 4 Ω. Он переключается с частотой 20 kHz при L = 330 µH. Найдите пиковый ток катушки Imax.
Vin = 15 VVo = 4,5 Vf = 20 kHzL = 330 µHR = 4 Ω
Imax = A
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Идеальный инвертирующий понижающе-повышающий преобразователь преобразует 36 V в −108 V при нагрузке 10 Ω и частоте 250 kHz. Найдите наименьшую индуктивность Lcrit для режима непрерывного тока.
Vin = 36 VVo = −108 Vf = 250 kHzR = 10 Ω
Lcrit = µH
3.Двигатели постоянного токаСредняя
Двигатель постоянного тока потребляет 12 A от источника 220 V. Сопротивление якоря равно 0,8 Ω, а потери на вращение (трение, сопротивление воздуха и потери в железе) составляют 101 W. Найдите его КПД η.
V = 220 VIa = 12 ARa = 0,8 ΩProt = 101 W
η = %
4.Двигатели постоянного токаСложная
Двигатель постоянного тока (k = 0,15 V·s/rad, Ra = 2 Ω) при фиксированном питании 48 V приводит нагрузку 0,3 N·m. Найдите последовательное сопротивление Rs, замедляющее его до 900 rpm.
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 16 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном) от сети 230 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.
P = 16 kWpf = 0,85V = 230 V
Q = kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазный трансформатор 15 kVA питает нагрузку 3 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?
Smax = 15 kVAP1 = 3 kWpf1 = 0,65
ΔP = kW
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная нагрузка, соединённая звездой, с полным сопротивлением 16 + j12 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 415 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 415 VZ = 16 + j12 Ω на фазу
P = kW
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 80 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 80 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: Imax = 1,364 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 4,5/15 = 0,3
Средний ток и пульсации тока
Io = 4,5/4 = 1,125 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 10,5·0,3/(330·10⁻⁶·20·10³) = 0,4773 A
Пиковый ток
Imax = 1,125 + 0,4773/2 = 1,364 A
Ответ
Imax = 1,364 A
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: Lcrit = 1,25 µH
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 108/(36 + 108) = 0,75
Граничное условие
Приравняйте средний ток катушки к половине пульсаций тока и решите относительно L.
Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)
Критическая индуктивность
Lcrit = (1 − 0,75)²·10/(2250·10³) = 1,25 µH
Ответ
Lcrit = 1,25 µH
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: η = 91,81 %
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Мощности
Pin = 220·12 = 2640 W
Pdev = 210,4·12 = 2525 W
Pout = 2525 − 101 = 2424 W
КПД
η = 2424/2640·100 = 91,81 %
Ответ
η = 91,81 %
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: Rs = 14,93 Ω
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Ток и противо-ЭДС
Ia = 0,3/0,15 = 2 A
E = 0,15·94,25 = 14,14 V
Последовательное сопротивление
Ra + Rs = (48 − 14,14)/2 = 16,93 Ω
Rs = 14,93 Ω
Ответ
Rs = 14,93 Ω
Резистор рассеивает 59,73 W; прерыватель регулирует скорость с гораздо меньшими потерями.
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 9,916 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Угол
φ = arccos(0,85) = 31,79°, tan φ = 0,6197
Реактивная мощность
Q = P·tan φ = 16·0,6197 = 9,916 kvar
Ответ
Q = 9,916 kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: ΔP = 11,58 kW
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность существующей нагрузки
Q1 = 3·tan(arccos 0,65) = 3,507 kvar
Наибольшая суммарная активная мощность
При полной нагрузке S = Smax, а Q от активной нагрузки не меняется.
P = √(Smax² − Q1²) = √(15² − 3,507²) = 14,58 kW
Дополнительная активная мощность
ΔP = 14,58 − 3 = 11,58 kW
Ответ
ΔP = 11,58 kW
7.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 6,889 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазное напряжение
Vph = 415/√3 = 239,6 V
Фазный ток
|Z| = √(16² + 12²) = 20 Ω
Iph = 239,6/20 = 11,98 A
Полная активная мощность
Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.
P = 3·Iph²·R = 3·11,98²·16 = 6,889 kW
Ответ
P = 6,889 kW
Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,8, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.
8.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 59,07 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 80·tan(acos 0,75) = 80·0,8819 = 70,55 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0,9) = 80·0,4843 = 38,75 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 31,81 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.