Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Идеальный повышающий преобразователь преобразует 12 V в 24 V при 20 kHz и L = 330 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔIL.
Vin = 12 VVo = 24 Vf = 20 kHzL = 330 µH
ΔIL = A
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Идеальный повышающий преобразователь преобразует 36 V в 48 V при нагрузке 2 Ω и частоте 50 kHz. Выходной конденсатор имеет ёмкость 10 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔVo в mV.
Vin = 36 VVo = 48 Vf = 50 kHzC = 10 µFR = 2 Ω
ΔVo = mV
3.Двигатели постоянного токаСредняя
Двигатель постоянного тока (k = 0,75 V·s/rad, Ra = 0,25 Ω) работает от 220 V. При полной нагрузке он потребляет 40 A. Пренебрегая током холостого хода, найдите его регулирование скорости SR = (n₀ − nFL)/nFL в процентах.
V = 220 Vk = 0,75 V·s/radRa = 0,25 ΩIFL = 40 A
SR = %
4.Двигатели постоянного токаСложная
Небольшой двигатель постоянного тока имеет сопротивление якоря 4 Ω и работает от 24 V. Пренебрегая потерями на вращение, найдите наибольшую механическую мощность Pmax, которую он может развить на любой скорости.
V = 24 VRa = 4 Ω
Pmax = W
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Нагрузка с полным сопротивлением Z = 7 + j24 Ω подключена к однофазной сети 240 V (действующее значение). Найдите полную мощность S.
V = 240 VZ = 7 + j24 Ω
S = VA
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Источник 120 V (действующее значение), 60 Hz имеет внутреннее сопротивление Zs = 4 + j40 Ω. Полное сопротивление нагрузки ZL можно выбирать произвольно. Найдите наибольшую активную мощность Pmax, которую можно передать нагрузке.
Vs = 120 V (rms)f = 60 HzZs = 4 + j40 Ω
Pmax = W
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 120 A от сети с линейным напряжением 208 V. Коэффициент мощности 0,92 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 208 VIL = 120 Acos φ = 0,92
P = kW
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 75 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 75 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,95VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: ΔIL = 0,9091 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 1 − 12/24 = 0,5
Напряжение на катушке во время включения
Пока S включён, катушка индуктивности находится непосредственно под напряжением Vin.
VL = 12 V
Пульсации тока
ΔIL = VL·D/(L·f) = 12·0,5/(330·10⁻⁶·20·10³) = 0,9091 A
Ответ
ΔIL = 0,9091 A
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: ΔVo = 12000 mV
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 1 − 36/48 = 0,25
Ток нагрузки
Io = 48/2 = 24 A
Пульсации выходного напряжения
ΔVo = 24·0,25/(50·10³·10·10⁻⁶) = 12000 mV
Ответ
ΔVo = 12000 mV
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: SR = 4,762 %
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Скорость холостого хода и при полной нагрузке
n₀ = 60·220/(2π·0,75) = 2801 rpm
nFL = 60·(220 − 40·0,25)/(2π·0,75) = 2674 rpm
Регулирование скорости
SR = (2801 − 2674)/2674·100 = 4,762 %
Ответ
SR = 4,762 %
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: Pmax = 36 W
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Мощность как функция противо-ЭДС
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V
Наибольшая мощность
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 24²/(4·4) = 36 W
Ответ
Pmax = 36 W
В этой точке КПД составляет всего 50 %, поэтому реальные двигатели работают заметно выше половины скорости.
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: S = 2304 VA
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Ток
|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω
I = V/|Z| = 240/25 = 9,6 A
Полная мощность
S = V·I = 240·9,6 = 2304 VA
Ответ
S = 2304 VA
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Pmax = 900 W
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Сопряжённое согласование
Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.
ZL = Zs* = 4 − j40 Ω
Наибольшая мощность
I = Vs/(2Rs) = 120/8 = 15 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 120²/(4·4) = 900 W
Ответ
Pmax = 900 W
7.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 39,77 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Полная мощность
S = √3·VL·IL = √3·208·120 = 43,23 kVA
Активная мощность
P = S·cos φ = 43,23·0,92 = 39,77 kW
Ответ
P = 39,77 kW
8.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 266,3 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 75·tan(acos 0,7) = 75·1,02 = 76,52 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0,95) = 75·0,3287 = 24,65 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 51,86 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.