Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая звездой, с полным сопротивлением 9 + j12 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 400 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 400 VZ = 9 + j12 Ω на фазу

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 75 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 75 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,9V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

К вторичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 6:1 подключён резистор 16 Ω. Найдите сопротивление R_1′ со стороны первичной обмотки.

N₁:N₂ = 6:1R_L = 16 Ω

R_1′ = Ω

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 500 kVA имеет потери в стали 3000 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,95 (отстающий) его КПД равен 96,5%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке P_cu,fl в ваттах.

S = 500 kVAP_core = 3000 Wpf = 0,95η = 96,5%

P_cu,fl = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 240 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 25 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) и нагрузка 13 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном). Найдите общий ток I, потребляемый от сети.

V = 240 VP₁ = 25 kW, pf₁ = 0,65 отстающийP₂ = 13 kW, pf₂ = 0,7 отстающий

I = A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 10 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 230 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,9. Найдите необходимую ёмкость C.

P = 10 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,9V = 230 Vf = 50 Hz

C = µF

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с L = 50 mH должен резонировать на частоте 200 Hz. Найдите необходимую ёмкость C.

f₀ = 200 HzL = 50 mH

C = µF

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

V_C = V

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока отдаёт механическую мощность 5,5 kW при 1450 rpm. Найдите момент на валу T.

P = 5,5 kWn = 1450 rpm

T = N·m

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока с k = 0,75 V·s/rad и R_a = 1,2 Ω должен приводить нагрузку 7,5 N·m со скоростью 1200 rpm. Найдите необходимое напряжение якоря V.

k = 0,75 V·s/radR_a = 1,2 ΩT = 7,5 N·mn = 1200 rpm

V = V

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 6,4 kW

Фазное напряжение

V_ph = 400/√3 = 230,9 V

Фазный ток

|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω

I_ph = 230,9/15 = 15,4 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·15,4²·9 = 6,4 kW

Ответ

P = 6,4 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,6, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 154,2 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0,7) = 75·1,02 = 76,52 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0,9) = 75·0,4843 = 36,32 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 40,19 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 13397/(377·480²) = 154,2 µF

Ответ

C_ph = 154,2 µF

3.Трансформаторы

Ответ: R_1′ = 576 Ω

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Приведённое сопротивление

Напряжение растёт в a раз, а ток уменьшается в a раз, поэтому отношение V/I растёт в a² раз.

R_1′ = a²·R_L = 6²·16 = 576 Ω

Ответ

R_1′ = 576 Ω

4.Трансформаторы

Ответ: P_cu,fl = 14228 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

P_out = 500·0,95 = 475 kW

P_in = 475000/0,965 = 492228 W

Суммарные потери и потери в меди

P_loss = 492228 − 475000 = 17228 W

P_cu,fl = 17228 − 3000 = 14228 W

Ответ

P_cu,fl = 14228 W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 237,5 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 25·tan(arccos 0,65) = 29,23 kvar

Q₂ = 13·tan(arccos 0,7) = 13,26 kvar

Суммы

P = 25 + 13 = 38 kW

Q = 29,23 + 13,26 = 42,49 kvar

S = √(38² + 42,49²) = 57 kVA

Общий ток

I = S/V = 57004/240 = 237,5 A

Ответ

I = 237,5 A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: C = 239,2 µF

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 10·tan(41,41°) = 8,819 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 10·tan(25,84°) = 4,843 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 3,976 kvar

Ёмкость

Конденсатор, подключённый к сети, поставляет Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 3976/(2π·50·230²) = 239,2 µF

Ответ

C = 239,2 µF

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: C = 12,67 µF

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(1257²·0,05) = 12,67 µF

Ответ

C = 12,67 µF

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 234 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−545,5)²) = 554,6 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 230/554,6 = 0,4147 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,4147·564,4 = 234 V

Ответ

V_C = 234 V

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: T = 36,22 N·m

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость в rad/s

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

Крутящий момент

T = P/ω = 5500/151,8 = 36,22 N·m

Ответ

T = 36,22 N·m

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: V = 106,2 V

Противо-ЭДС

E = 0,75·125,7 = 94,25 V

Ток якоря

I_a = 7,5/0,75 = 10 A

Напряжение якоря

V = 94,25 + 10·1,2 = 106,2 V

Ответ

V = 106,2 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems