Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 7,5 kW. При этой нагрузке его КПД равен 90%, а коэффициент мощности 0,84 (отстающий). Линейное напряжение сети 400 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 7,5 kWη = 90%cos φ = 0,84V_L = 400 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 100 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,95V_L = 415 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаторыСредняя

К вторичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 6:1 подключён резистор 2 Ω. Найдите сопротивление R_1′ со стороны первичной обмотки.

N₁:N₂ = 6:1R_L = 2 Ω

R_1′ = Ω

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 500 kVA имеет потери в стали 2500 W и потери в меди 5000 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 50% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 500 kVAP_core = 2500 WP_cu,fl = 5000 Wx = 0,5pf = 0,8

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 35 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите ток линии I.

P = 35 kWpf = 0,85V = 400 V

I = A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 15 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) от сети 230 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,95. Найдите новый ток линии I_new.

P = 15 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,95V = 230 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 47 µF

φ = °

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 24 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 24 V (rms)R = 15 ΩL = 5 mHC = 1 µF

V_L = V

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 0,3 N·m/A, R_a = 1 Ω) работает от 24 V и приводит нагрузку с моментом 0,6 N·m. Найдите его скорость n в rpm.

V = 24 Vk = 0,3 N·m/AR_a = 1 ΩT = 0,6 N·m

n = rpm

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока независимого возбуждения (k = 1,5 V·s/rad при полном поле, R_a = 0,8 Ω, V = 110 V) приводит нагрузку с постоянным моментом 9 N·m. Поток возбуждения уменьшают до 90 % от полного значения. Найдите новую скорость n.

V = 110 Vk = 1,5 V·s/radR_a = 0,8 ΩT = 9 N·mΦ = 90 %

n = rpm

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 14,32 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 7,5/0,9 = 8,333 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 8333/(√3·400·0,84) = 14,32 A

Ответ

I_L = 14,32 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 69,15 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,7) = 100·1,02 = 102 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,95) = 100·0,3287 = 32,87 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 69,15 kvar

Ответ

Q_C = 69,15 kvar

3.Трансформаторы

Ответ: R_1′ = 72 Ω

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Приведённое сопротивление

Напряжение растёт в a раз, а ток уменьшается в a раз, поэтому отношение V/I растёт в a² раз.

R_1′ = a²·R_L = 6²·2 = 72 Ω

Ответ

R_1′ = 72 Ω

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 3750 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,25·5000 = 1250 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 2500 + 1250 = 3750 W

Ответ

P_loss = 3750 W

КПД при этой нагрузке η = 98,16%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 102,9 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток линии

Работу совершает только активная часть мощности, поэтому разделите на коэффициент мощности.

I = P/(V·cos φ) = 35000/(400·0,85) = 102,9 A

Ответ

I = 102,9 A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I_new = 68,65 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 15·tan(45,57°) = 15,3 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 15·tan(18,19°) = 4,93 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 10,37 kvar

Новый ток линии

I_new = P/(V·cos φ₂) = 15000/(230·0,95) = 68,65 A

Ответ

I_new = 68,65 A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −75,1 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (−37,59)²) = 38,9 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−37,59/10) = −75,1°

Ответ

φ = −75,1°

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 113,1 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·1·10⁻⁶) = 14142 rad/s

I = V/R = 24/15 = 1,6 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 14142·0,005 = 70,71 Ω

V_L = I·X_L = 1,6·70,71 = 113,1 V

Ответ

V_L = 113,1 V

Это в Q = 4,714 раз больше напряжения источника.

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: n = 700,3 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Ток якоря

I_a = T/k = 0,6/0,3 = 2 A

Противо-ЭДС и скорость

E = 24 − 2·1 = 22 V

ω = E/k = 73,33 rad/s → n = 700,3 rpm

Ответ

n = 700,3 rpm

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: n = 740,4 rpm

Ослабленная постоянная двигателя

k₂ = 0,9·1,5 = 1,35 V·s/rad

Новый ток якоря

I_a = 9/1,35 = 6,667 A

Новая скорость

ω = (110 − 6,667·0,8)/1,35 = 77,53 rad/s → n = 740,4 rpm

Ответ

n = 740,4 rpm

Ослабление поля — способ, которым привод постоянного тока работает выше основной скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems