Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 150 A от сети с линейным напряжением 208 V. Коэффициент мощности 0,92 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 208 VI_L = 150 Acos φ = 0,92

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 75 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 75 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,9V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

К вторичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 6:1 подключён резистор 50 Ω. Найдите сопротивление R_1′ со стороны первичной обмотки.

N₁:N₂ = 6:1R_L = 50 Ω

R_1′ = Ω

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 250 kVA имеет потери в стали 1000 W и потери в меди 2000 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 75% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,95 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 250 kVAP_core = 1000 WP_cu,fl = 2000 Wx = 0,75pf = 0,95

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 5 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) от сети 230 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 5 kWpf = 0,6V = 230 V

Q = kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 45 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 240 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,92. Найдите новый ток линии I_new.

P = 45 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,92V = 240 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 47 µF

cos φ =

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 10 µF

V_C = V

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока с k = 0,8 N·m/A и R_a = 1,5 Ω подключён к 110 V. Найдите его момент при заторможенном роторе T_stall, то есть момент при нулевой скорости.

V = 110 Vk = 0,8 N·m/AR_a = 1,5 Ω

T_stall = N·m

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока (k = 0,3 V·s/rad, R_a = 0,8 Ω) при фиксированном питании 24 V приводит нагрузку 0,6 N·m. Найдите последовательное сопротивление R_s, замедляющее его до 500 rpm.

V = 24 Vk = 0,3 V·s/radR_a = 0,8 ΩT = 0,6 N·mn = 500 rpm

R_s = Ω

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 49,72 kW

Полная мощность

S = √3·V_L·I_L = √3·208·150 = 54,04 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 54,04·0,92 = 49,72 kW

Ответ

P = 49,72 kW

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 95,38 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0,65) = 75·1,169 = 87,68 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0,9) = 75·0,4843 = 36,32 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 51,36 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 17120/(377·690²) = 95,38 µF

Ответ

C_ph = 95,38 µF

3.Трансформаторы

Ответ: R_1′ = 1800 Ω

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Приведённое сопротивление

Напряжение растёт в a раз, а ток уменьшается в a раз, поэтому отношение V/I растёт в a² раз.

R_1′ = a²·R_L = 6²·50 = 1800 Ω

Ответ

R_1′ = 1800 Ω

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 2125 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,5625·2000 = 1125 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 1000 + 1125 = 2125 W

Ответ

P_loss = 2125 W

КПД при этой нагрузке η = 98,82%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 6,667 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,6) = 53,13°, tan φ = 1,333

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 5·1,333 = 6,667 kvar

Ответ

Q = 6,667 kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I_new = 203,8 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 45·tan(36,87°) = 33,75 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 45·tan(23,07°) = 19,17 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 14,58 kvar

Новый ток линии

I_new = P/(V·cos φ₂) = 45000/(240·0,92) = 203,8 A

Ответ

I_new = 203,8 A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,1442

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 188,5 Ω, X_C = 16,93 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(25² + (171,6)²) = 173,4 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 25/173,4 = 0,1442

Цепь индуктивная, поэтому коэффициент мощности отстающий.

Ответ

cos φ = 0,1442

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 58,53 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,15 = 47,12 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (−271,2)²) = 271,9 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 50/271,9 = 0,1839 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,1839·318,3 = 58,53 V

Ответ

V_C = 58,53 V

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: T_stall = 58,67 N·m

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Ток при заторможенном роторе

I_a = V/R_a = 110/1,5 = 73,33 A

Момент при заторможенном роторе

T_stall = 0,8·73,33 = 58,67 N·m

Ответ

T_stall = 58,67 N·m

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: R_s = 3,346 Ω

Ток и противо-ЭДС

I_a = 0,6/0,3 = 2 A

E = 0,3·52,36 = 15,71 V

Последовательное сопротивление

R_a + R_s = (24 − 15,71)/2 = 4,146 Ω

R_s = 3,346 Ω

Ответ

R_s = 3,346 Ω

Резистор рассеивает 13,38 W; прерыватель регулирует скорость с гораздо меньшими потерями.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems