Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации
a = N1/N2 = V1/V2
Отношение токов
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номинальный ток
I = S/V
Приведённое сопротивление
Z1′ = a²·ZL
Потери в меди при неполной нагрузке
Pcu = x²·Pcu,fl
КПД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальный КПД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc

Метод

  1. Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
  2. Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
  3. Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
  4. Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя
ABCVL​ = 208 VNZ = 20 + j15 Ωна фазу

Симметричная нагрузка, соединённая звездой, с полным сопротивлением 20 + j15 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 208 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

VL = 208 VZ = 20 + j15 Ω на фазу
P = kW
2.Трёхфазная мощностьСложная
P = 150 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 150 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 150 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3.ТрансформаторыСредняя
50 ΩN1​N2​800 Ω

Усилитель с выходным сопротивлением 800 Ω питает громкоговоритель 50 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 800 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.

Rs = 800 ΩRL = 50 Ω
a =
4.ТрансформаторыСложная
pf 0,95500 kVA, 75% нагрузка

Однофазный трансформатор 500 kVA имеет потери в стали 3000 W и потери в меди 4500 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 75% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,95 (отстающий). Найдите суммарные потери Ploss в ваттах при этой нагрузке.

S = 500 kVAPcore = 3000 WPcu,fl = 4500 Wx = 0,75pf = 0,95
Ploss = W
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
P = 30 kWQ = ?Sφ

Однофазный двигатель потребляет 30 kW при коэффициенте мощности 0,9 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 30 kWpf = 0,9V = 400 V
Q = kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
400 V60 Hzнагрузка6 kW, 0,7C22 µFI

Однофазная нагрузка потребляет 6 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) от сети 400 V, 60 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 22 µF. Найдите новый коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

P = 6 kWpf1 = 0,7V = 400 Vf = 60 HzC = 22 µF
cos φ =
7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
50 V60 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 4,7 µFI

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите активную мощность P, потребляемую от источника.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF
P = W
8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
24 V500 HzR1​ = 15 ΩR2​ = 60 ΩC = 10 µF

Резистор R1 включён последовательно с параллельным соединением R2 и конденсатора C в сеть 24 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR1 = 15 ΩR2 = 60 ΩC = 10 µF
|Z| = Ω
9.Двигатели постоянного токаСредняя
T (N·m)n (rpm)Tst​ = ?n0​

Двигатель постоянного тока с k = 1,5 N·m/A и Ra = 2 Ω подключён к 220 V. Найдите его момент при заторможенном роторе Tstall, то есть момент при нулевой скорости.

V = 220 Vk = 1,5 N·m/ARa = 2 Ω
Tstall = N·m
10.Двигатели постоянного токаСложная
+−48 VRst​ = ?Ra​ = 0,5 Ω15 AM+−E = 0n = 0T

Двигатель постоянного тока на 48 V имеет сопротивление якоря 0,5 Ω. Найдите последовательное пусковое сопротивление Rst, ограничивающее пусковой ток до 15 A.

V = 48 VRa = 0,5 ΩImax = 15 A
Rst = Ω

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 1,384 kW

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Фазное напряжение

Vph = 208/√3 = 120,1 V

Фазный ток

|Z| = √(20² + 15²) = 25 Ω
Iph = 120,1/25 = 4,804 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·Iph²·R = 3·4,804²·20 = 1,384 kW

Ответ

P = 1,384 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,8, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.

2.Трёхфазная мощность

Ответ: QC = 59,64 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q1 = 150·tan(acos 0,75) = 150·0,8819 = 132,3 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0,9) = 150·0,4843 = 72,65 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

QC = Q1 − Q2 = 59,64 kvar

Ответ

QC = 59,64 kvar
3.Трансформаторы

Ответ: a = 4

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Согласуйте приведённую нагрузку

a²·50 = 800
a = √(800/50) = √16 = 4

Ответ

a = 4
4.Трансформаторы

Ответ: Ploss = 5531 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

Pcu = x²·Pcu,fl = 0,5625·4500 = 2531 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

Ploss = 3000 + 2531 = 5531 W

Ответ

Ploss = 5531 W

КПД при этой нагрузке η = 98,47%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 14,53 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,9) = 25,84°, tan φ = 0,4843

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 30·0,4843 = 14,53 kvar

Ответ

Q = 14,53 kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,7812

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q1 = 6·tan(arccos 0,7) = 6,121 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·60·22·10⁻⁶ = 1327 var = 1,327 kvar
Q2 = 6,121 − 1,327 = 4,794 kvar

Новая полная мощность

S2 = √(6² + 4,794²) = 7,68 kVA

Новый коэффициент мощности

cos φ = P/S2 = 6/7,68 = 0,7812

Ответ

cos φ = 0,7812
7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: P = 0,7567 W

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

XL = 56,55 Ω, XC = 564,4 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(80² + (−507,8)²) = 514,1 Ω

Активная мощность

Катушки и конденсаторы только запасают и возвращают энергию; всю активную мощность потребляет резистор.

I = 50/514,1 = 0,09726 A
P = I²·R = 0,09726²·80 = 0,7567 W

Ответ

P = 0,7567 W
8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 37,56 Ω

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

XC = 1/(2π·500·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Zp на действительную и мнимую части.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 13,18 − j24,84 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 15 + 13,18 − j24,84 = 28,18 − j24,84 Ω
|Z| = √(28,18² + 24,84²) = 37,56 Ω

Ответ

|Z| = 37,56 Ω
9.Двигатели постоянного тока

Ответ: Tstall = 165 N·m

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.

Ток при заторможенном роторе

Ia = V/Ra = 220/2 = 110 A

Момент при заторможенном роторе

Tstall = 1,5·110 = 165 N·m

Ответ

Tstall = 165 N·m
10.Двигатели постоянного тока

Ответ: Rst = 2,7 Ω

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.

Полное сопротивление

Ra + Rst = 48/15 = 3,2 Ω

Пусковой резистор

Rst = 3,2 − 0,5 = 2,7 Ω

Ответ

Rst = 2,7 Ω

Резистор выводят ступенями по мере разгона двигателя и роста противо-ЭДС.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems