Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 55 kW. При этой нагрузке его КПД равен 91%, а коэффициент мощности 0,8 (отстающий). Линейное напряжение сети 480 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 55 kWη = 91%cos φ = 0,8V_L = 480 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 120 kW при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 120 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,9V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

Усилитель с выходным сопротивлением 800 Ω питает громкоговоритель 50 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 800 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.

R_s = 800 ΩR_L = 50 Ω

a =

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 75 kVA имеет потери в стали 450 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,9 (отстающий) его КПД равен 99%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке P_cu,fl в ваттах.

S = 75 kVAP_core = 450 Wpf = 0,9η = 99%

P_cu,fl = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Индуктивная нагрузка потребляет 8,5 A и 1760 W от однофазной сети 230 V (действующее значение). Представьте её как сопротивление R, соединённое последовательно с реактивным сопротивлением X. Найдите R.

V = 230 VI = 8,5 AP = 1760 W

R = Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазный трансформатор 200 kVA питает нагрузку 113 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?

S_max = 200 kVAP₁ = 113 kWpf₁ = 0,85

ΔP = kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 47 µF

cos φ =

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите резонансную частоту f₀ цепи.

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF

f₀ = Hz

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 2 V·s/rad, R_a = 0,8 Ω) работает от 220 V. При полной нагрузке он потребляет 30 A. Пренебрегая током холостого хода, найдите его регулирование скорости SR = (n₀ − n_FL)/n_FL в процентах.

V = 220 Vk = 2 V·s/radR_a = 0,8 ΩI_FL = 30 A

SR = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока независимого возбуждения (k = 0,2 V·s/rad при полном поле, R_a = 0,2 Ω, V = 48 V) приводит нагрузку с постоянным моментом 1,6 N·m. Поток возбуждения уменьшают до 70 % от полного значения. Найдите новую скорость n.

V = 48 Vk = 0,2 V·s/radR_a = 0,2 ΩT = 1,6 N·mΦ = 70 %

n = rpm

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 90,87 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 55/0,91 = 60,44 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 60440/(√3·480·0,8) = 90,87 A

Ответ

I_L = 90,87 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 213,2 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 120·tan(acos 0,8) = 120·0,75 = 90 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0,9) = 120·0,4843 = 58,12 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 31,88 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 10627/(314,2·398,4²) = 213,2 µF

Ответ

C_ph = 213,2 µF

3.Трансформаторы

Ответ: a = 4

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Согласуйте приведённую нагрузку

a²·50 = 800

a = √(800/50) = √16 = 4

Ответ

a = 4

4.Трансформаторы

Ответ: P_cu,fl = 231,8 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

P_out = 75·0,9 = 67,5 kW

P_in = 67500/0,99 = 68182 W

Суммарные потери и потери в меди

P_loss = 68182 − 67500 = 681,8 W

P_cu,fl = 681,8 − 450 = 231,8 W

Ответ

P_cu,fl = 231,8 W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: R = 24,36 Ω

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Сопротивление по активной мощности

R = P/I² = 1760/8,5² = 24,36 Ω

Ответ

R = 24,36 Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: ΔP = 74,34 kW

Реактивная мощность существующей нагрузки

Q₁ = 113·tan(arccos 0,85) = 70,03 kvar

Наибольшая суммарная активная мощность

При полной нагрузке S = S_max, а Q от активной нагрузки не меняется.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 70,03²) = 187,3 kW

Дополнительная активная мощность

ΔP = 187,3 − 113 = 74,34 kW

Ответ

ΔP = 74,34 kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,3189

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 314,2 Ω, X_C = 16,93 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(100² + (297,2)²) = 313,6 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 100/313,6 = 0,3189

Цепь индуктивная, поэтому коэффициент мощности отстающий.

Ответ

cos φ = 0,3189

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: f₀ = 479,9 Hz

Резонанс

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC). Частота сети не важна.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·2,2·10⁻⁶)) = 479,9 Hz

Ответ

f₀ = 479,9 Hz

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: SR = 12,24 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода и при полной нагрузке

n₀ = 60·220/(2π·2) = 1050 rpm

n_FL = 60·(220 − 30·0,8)/(2π·2) = 935,8 rpm

Регулирование скорости

SR = (1050 − 935,8)/935,8·100 = 12,24 %

Ответ

SR = 12,24 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: n = 3118 rpm

Ослабленная постоянная двигателя

k₂ = 0,7·0,2 = 0,14 V·s/rad

Новый ток якоря

I_a = 1,6/0,14 = 11,43 A

Новая скорость

ω = (48 − 11,43·0,2)/0,14 = 326,5 rad/s → n = 3118 rpm

Ответ

n = 3118 rpm

Ослабление поля — способ, которым привод постоянного тока работает выше основной скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems