Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 12 + j5 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 400 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 400 VZ = 12 + j5 Ω на фазу

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 300 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 300 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,9V_L = 480 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 4:1 приложено 480 V. К вторичной обмотке подключён резистор 24 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 4:1V₁ = 480 VR_L = 24 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 50 kVA имеет потери в стали 400 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) его КПД равен 98,5%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке P_cu,fl в ваттах.

S = 50 kVAP_core = 400 Wpf = 0,8η = 98,5%

P_cu,fl = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 240 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 7 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) и нагреватель мощностью 13 kW (коэффициент мощности 1). Найдите общий ток I, потребляемый от сети.

V = 240 VP₁ = 7 kW, pf₁ = 0,6 отстающийP₂ = 13 kW, pf₂ = 1

I = A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Источник 120 V (действующее значение), 50 Hz имеет внутреннее сопротивление Z_s = 5 + j5 Ω. Полное сопротивление нагрузки Z_L можно выбирать произвольно. Нагрузка для максимальной мощности составлена из резистора, соединённого последовательно с конденсатором. Найдите ёмкость C.

V_s = 120 V (rms)f = 50 HzZ_s = 5 + j5 Ω

C = µF

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с L = 2 mH должен резонировать на частоте 2000 Hz. Найдите необходимую ёмкость C.

f₀ = 2000 HzL = 2 mH

C = µF

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 20 Ω, L = 200 mH и C = 0,22 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 20 ΩL = 200 mHC = 0,22 µF

B = Hz

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 1,5 V·s/rad, R_a = 0,4 Ω) работает от 120 V. При полной нагрузке он потребляет 12 A. Пренебрегая током холостого хода, найдите его регулирование скорости SR = (n₀ − n_FL)/n_FL в процентах.

V = 120 Vk = 1,5 V·s/radR_a = 0,4 ΩI_FL = 12 A

SR = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока с k = 0,1 V·s/rad и R_a = 0,25 Ω должен приводить нагрузку 1 N·m со скоростью 600 rpm. Найдите необходимое напряжение якоря V.

k = 0,1 V·s/radR_a = 0,25 ΩT = 1 N·mn = 600 rpm

V = V

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 34,08 kW

Фазное напряжение

V_ph = V_L = 400 V

Фазный ток

|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω

I_ph = 400/13 = 30,77 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·30,77²·12 = 34,08 kW

Ответ

P = 34,08 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,9231, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 119,3 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0,75) = 300·0,8819 = 264,6 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0,9) = 300·0,4843 = 145,3 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 119,3 kvar

Ответ

Q_C = 119,3 kvar

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 1,25 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 480/4 = 120 V

I₂ = 120/24 = 5 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/4 = 1,25 A

Ответ

I₁ = 1,25 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 384 Ω, и 480/384 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: P_cu,fl = 209,1 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

P_out = 50·0,8 = 40 kW

P_in = 40000/0,985 = 40609 W

Суммарные потери и потери в меди

P_loss = 40609 − 40000 = 609,1 W

P_cu,fl = 609,1 − 400 = 209,1 W

Ответ

P_cu,fl = 209,1 W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 91,96 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 7·tan(arccos 0,6) = 9,333 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Суммы

P = 7 + 13 = 20 kW

Q = 9,333 + 0 = 9,333 kvar

S = √(20² + 9,333²) = 22,07 kVA

Общий ток

I = S/V = 22071/240 = 91,96 A

Ответ

I = 91,96 A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: C = 636,6 µF

Сопряжённое согласование

Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.

Z_L = Z_s* = 5 − j5 Ω

Ёмкость

X_C = 5 Ω → C = 1/(2π·50·5) = 636,6 µF

Ответ

C = 636,6 µF

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: C = 3,166 µF

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(12566²·0,002) = 3,166 µF

Ответ

C = 3,166 µF

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 15,92 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,2·0,22·10⁻⁶)) = 758,7 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,2/(0,22·10⁻⁶)) = 47,67

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 758,7/47,67 = 15,92 Hz

Ответ

B = 15,92 Hz

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: SR = 4,167 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода и при полной нагрузке

n₀ = 60·120/(2π·1,5) = 763,9 rpm

n_FL = 60·(120 − 12·0,4)/(2π·1,5) = 733,4 rpm

Регулирование скорости

SR = (763,9 − 733,4)/733,4·100 = 4,167 %

Ответ

SR = 4,167 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: V = 8,783 V

Противо-ЭДС

E = 0,1·62,83 = 6,283 V

Ток якоря

I_a = 1/0,1 = 10 A

Напряжение якоря

V = 6,283 + 10·0,25 = 8,783 V

Ответ

V = 8,783 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems