Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 15 A от сети с линейным напряжением 415 V. Коэффициент мощности 0,92 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 415 VI_L = 15 Acos φ = 0,92

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 150 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 150 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,9V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 4:1 приложено 960 V. К вторичной обмотке подключён резистор 20 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 4:1V₁ = 960 VR_L = 20 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 25 kVA имеет потери в стали 125 W и потери в меди 250 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 25% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,95 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 25 kVAP_core = 125 WP_cu,fl = 250 Wx = 0,25pf = 0,95

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 240 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 18 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) и нагрузка 24 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

V = 240 VP₁ = 18 kW, pf₁ = 0,75 отстающийP₂ = 24 kW, pf₂ = 0,8 отстающий

cos φ =

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 25 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) от сети 230 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,9. Найдите реактивную мощность Q_C, которую должен поставлять конденсатор.

P = 25 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,9V = 230 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 22 µF

cos φ =

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 15 Ω, L = 2 mH и C = 0,01 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 15 ΩL = 2 mHC = 0,01 µF

B = Hz

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока с k = 0,75 N·m/A и R_a = 0,8 Ω подключён к 240 V. Найдите его момент при заторможенном роторе T_stall, то есть момент при нулевой скорости.

V = 240 Vk = 0,75 N·m/AR_a = 0,8 Ω

T_stall = N·m

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока с k = 0,2 V·s/rad и R_a = 0,2 Ω должен приводить нагрузку 4 N·m со скоростью 1000 rpm. Найдите необходимое напряжение якоря V.

k = 0,2 V·s/radR_a = 0,2 ΩT = 4 N·mn = 1000 rpm

V = V

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 9,919 kW

Полная мощность

S = √3·V_L·I_L = √3·415·15 = 10,78 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 10,78·0,92 = 9,919 kW

Ответ

P = 9,919 kW

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 398,7 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,75) = 150·0,8819 = 132,3 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,9) = 150·0,4843 = 72,65 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 59,64 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 19880/(314,2·398,4²) = 398,7 µF

Ответ

C_ph = 398,7 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 3 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 960/4 = 240 V

I₂ = 240/20 = 12 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/4 = 3 A

Ответ

I₁ = 3 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 320 Ω, и 960/320 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 140,6 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,0625·250 = 15,63 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 125 + 15,63 = 140,6 W

Ответ

P_loss = 140,6 W

КПД при этой нагрузке η = 97,69%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,7784

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 18·tan(arccos 0,75) = 15,87 kvar

Q₂ = 24·tan(arccos 0,8) = 18 kvar

Суммы

P = 18 + 24 = 42 kW

Q = 15,87 + 18 = 33,87 kvar

S = √(42² + 33,87²) = 53,96 kVA

Общий коэффициент мощности

cos φ = P/S = 42/53,96 = 0,7784 отстающий

Ответ

cos φ = 0,7784

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q_C = 13,4 kvar

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 25·tan(45,57°) = 25,51 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 25·tan(25,84°) = 12,11 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 13,4 kvar

Ответ

Q_C = 13,4 kvar

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,6341

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 47,12 Ω, X_C = 144,7 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(80² + (−97,56)²) = 126,2 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 80/126,2 = 0,6341

Цепь ёмкостная, поэтому коэффициент мощности опережающий.

Ответ

cos φ = 0,6341

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 1194 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,002·0,01·10⁻⁶)) = 35588 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,002/(0,01·10⁻⁶)) = 29,81

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 35588/29,81 = 1194 Hz

Ответ

B = 1194 Hz

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: T_stall = 225 N·m

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Ток при заторможенном роторе

I_a = V/R_a = 240/0,8 = 300 A

Момент при заторможенном роторе

T_stall = 0,75·300 = 225 N·m

Ответ

T_stall = 225 N·m

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: V = 24,94 V

Противо-ЭДС

E = 0,2·104,7 = 20,94 V

Ток якоря

I_a = 4/0,2 = 20 A

Напряжение якоря

V = 20,94 + 20·0,2 = 24,94 V

Ответ

V = 24,94 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems