Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации
a = N1/N2 = V1/V2
Отношение токов
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номинальный ток
I = S/V
Приведённое сопротивление
Z1′ = a²·ZL
Потери в меди при неполной нагрузке
Pcu = x²·Pcu,fl
КПД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальный КПД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc

Метод

  1. Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
  2. Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
  3. Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
  4. Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя
ABCVL​ = 480 VNZ = 24 + j7 Ωна фазу

Симметричная нагрузка, соединённая звездой, с полным сопротивлением 24 + j7 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 480 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

VL = 480 VZ = 24 + j7 Ω на фазу
P = kW
2.Трёхфазная мощностьСложная
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 80 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.

P = 80 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,92VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.ТрансформаторыСредняя
2 ΩN1​N2​72 Ω

Усилитель с выходным сопротивлением 72 Ω питает громкоговоритель 2 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 72 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.

Rs = 72 ΩRL = 2 Ω
a =
4.ТрансформаторыСложная
pf 0,95200 kVA, 50% нагрузка

Однофазный трансформатор 200 kVA имеет потери в стали 600 W и потери в меди 1200 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 50% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,95 (отстающий). Найдите суммарные потери Ploss в ваттах при этой нагрузке.

S = 200 kVAPcore = 600 WPcu,fl = 1200 Wx = 0,5pf = 0,95
Ploss = W
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
240 V129 kW, 0,8215 kW, 0,7I

К однофазной сети 240 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 29 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) и нагрузка 15 kW при коэффициенте мощности 0,7 (ёмкостном). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

V = 240 VP1 = 29 kW, pf1 = 0,8 отстающийP2 = 15 kW, pf2 = 0,7 опережающий
cos φ =
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
P1​ = 27 kWQ1​S1​φ

Однофазный трансформатор 50 kVA питает нагрузку 27 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?

Smax = 50 kVAP1 = 27 kWpf1 = 0,65
ΔP = kW
7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
120 V60 HzR = 10 ΩC = 100 µFI

Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 120 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω
8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
10 V60 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 10 µF+−VC​

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение напряжения VC на конденсаторе.

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 10 µF
VC = V
9.Двигатели постоянного токаСредняя
T (N·m)n (rpm)1,6 N·mn0​n = ?

Двигатель постоянного тока (k = 0,4 N·m/A, Ra = 2 Ω) работает от 120 V и приводит нагрузку с моментом 1,6 N·m. Найдите его скорость n в rpm.

V = 120 Vk = 0,4 N·m/ARa = 2 ΩT = 1,6 N·m
n = rpm
10.Двигатели постоянного токаСложная
+−120 VRa​ = 0,2 ΩM+−En = ?T = 36 N·m

Двигатель постоянного тока независимого возбуждения (k = 1,2 V·s/rad при полном поле, Ra = 0,2 Ω, V = 120 V) приводит нагрузку с постоянным моментом 36 N·m. Поток возбуждения уменьшают до 80 % от полного значения. Найдите новую скорость n.

V = 120 Vk = 1,2 V·s/radRa = 0,2 ΩT = 36 N·mΦ = 80 %
n = rpm

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 8,847 kW

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Фазное напряжение

Vph = 480/√3 = 277,1 V

Фазный ток

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
Iph = 277,1/25 = 11,09 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·Iph²·R = 3·11,09²·24 = 8,847 kW

Ответ

P = 8,847 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,96, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Cph = 415,9 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q1 = 80·tan(acos 0,78) = 80·0,8023 = 64,18 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0,92) = 80·0,426 = 34,08 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

QC = Q1 − Q2 = 30,1 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 10034/(314,2·277,1²) = 415,9 µF

Ответ

Cph = 415,9 µF
3.Трансформаторы

Ответ: a = 6

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Согласуйте приведённую нагрузку

a²·2 = 72
a = √(72/2) = √36 = 6

Ответ

a = 6
4.Трансформаторы

Ответ: Ploss = 900 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

Pcu = x²·Pcu,fl = 0,25·1200 = 300 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

Ploss = 600 + 300 = 900 W

Ответ

Ploss = 900 W

КПД при этой нагрузке η = 99,06%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,9894

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q1 = 29·tan(arccos 0,8) = 21,75 kvar
Q2 = −15·tan(arccos 0,7) = −15,3 kvar

Суммы

P = 29 + 15 = 44 kW
Q = 21,75 + (−15,3) = 6,447 kvar
S = √(44² + 6,447²) = 44,47 kVA

Общий коэффициент мощности

cos φ = P/S = 44/44,47 = 0,9894 отстающий

Ответ

cos φ = 0,9894
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: ΔP = 11,78 kW

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность существующей нагрузки

Q1 = 27·tan(arccos 0,65) = 31,57 kvar

Наибольшая суммарная активная мощность

При полной нагрузке S = Smax, а Q от активной нагрузки не меняется.

P = √(Smax² − Q1²) = √(50² − 31,57²) = 38,78 kW

Дополнительная активная мощность

ΔP = 38,78 − 27 = 11,78 kW

Ответ

ΔP = 11,78 kW
7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 9,357 Ω

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

XC = 1/(ωC) = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

IR = V/R = 120/10 = 12 A
IX = V/XC = 120/26,53 = 4,524 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(IR² + IX²) = √(12² + 4,524²) = 12,82 A

Полное сопротивление

|Z| = V/I = 120/12,82 = 9,357 Ω

Ответ

|Z| = 9,357 Ω
8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: VC = 13,51 V

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−189,9)²) = 196,3 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 10/196,3 = 0,05093 A

Напряжение на конденсаторе

VC = I·XC = 0,05093·265,3 = 13,51 V

Ответ

VC = 13,51 V
9.Двигатели постоянного тока

Ответ: n = 2674 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.

Ток якоря

Ia = T/k = 1,6/0,4 = 4 A

Противо-ЭДС и скорость

E = 120 − 4·2 = 112 V
ω = E/k = 280 rad/s → n = 2674 rpm

Ответ

n = 2674 rpm
10.Двигатели постоянного тока

Ответ: n = 1119 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.

Ослабленная постоянная двигателя

k₂ = 0,8·1,2 = 0,96 V·s/rad

Новый ток якоря

Ia = 36/0,96 = 37,5 A

Новая скорость

ω = (120 − 37,5·0,2)/0,96 = 117,2 rad/s → n = 1119 rpm

Ответ

n = 1119 rpm

Ослабление поля — способ, которым привод постоянного тока работает выше основной скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems