Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая звездой, с полным сопротивлением 20 + j15 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 400 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 400 VZ = 20 + j15 Ω на фазу

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 60 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,9V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

Усилитель с выходным сопротивлением 1875 Ω питает громкоговоритель 75 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 1875 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.

R_s = 1875 ΩR_L = 75 Ω

a =

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 150 kVA имеет потери в стали 1200 W и потери в меди 3600 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке S_η,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 150 kVAP_core = 1200 WP_cu,fl = 3600 W

S_η,max = kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 400 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 24 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) и нагрузка 15 kW при коэффициенте мощности 0,9 (ёмкостном). Найдите общий ток I, потребляемый от сети.

V = 400 VP₁ = 24 kW, pf₁ = 0,7 отстающийP₂ = 15 kW, pf₂ = 0,9 опережающий

I = A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Источник 10 V (действующее значение), 1000 Hz имеет внутреннее сопротивление Z_s = 50 + j3 Ω. Полное сопротивление нагрузки Z_L можно выбирать произвольно. Найдите наибольшую активную мощность P_max, которую можно передать нагрузке.

V_s = 10 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 50 + j3 Ω

P_max = W

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 10 µF

cos φ =

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF

I = A

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 0,2 N·m/A, R_a = 1,5 Ω) работает от 24 V и приводит нагрузку с моментом 0,4 N·m. Найдите его скорость n в rpm.

V = 24 Vk = 0,2 N·m/AR_a = 1,5 ΩT = 0,4 N·m

n = rpm

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока независимого возбуждения (k = 1,2 V·s/rad при полном поле, R_a = 2 Ω, V = 120 V) приводит нагрузку с постоянным моментом 6 N·m. Поток возбуждения уменьшают до 85 % от полного значения. Найдите новую скорость n.

V = 120 Vk = 1,2 V·s/radR_a = 2 ΩT = 6 N·mΦ = 85 %

n = rpm

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 5,12 kW

Фазное напряжение

V_ph = 400/√3 = 230,9 V

Фазный ток

|Z| = √(20² + 15²) = 25 Ω

I_ph = 230,9/25 = 9,238 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·9,238²·20 = 5,12 kW

Ответ

P = 5,12 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,8, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 132,5 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,72) = 60·0,9639 = 57,83 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,9) = 60·0,4843 = 29,06 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 28,77 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 480 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 9591/(314,2·480²) = 132,5 µF

Ответ

C_ph = 132,5 µF

3.Трансформаторы

Ответ: a = 5

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Согласуйте приведённую нагрузку

a²·75 = 1875

a = √(1875/75) = √25 = 5

Ответ

a = 5

4.Трансформаторы

Ответ: S_η,max = 86,6 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·3600 = 1200 → x = √(1200/3600) = 0,5774

Нагрузка при максимальном КПД

S_η,max = x·S = 0,5774·150 = 86,6 kVA

Ответ

S_η,max = 86,6 kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 106,6 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 24·tan(arccos 0,7) = 24,48 kvar

Q₂ = −15·tan(arccos 0,9) = −7,265 kvar

Суммы

P = 24 + 15 = 39 kW

Q = 24,48 + (−7,265) = 17,22 kvar

S = √(39² + 17,22²) = 42,63 kVA

Общий ток

I = S/V = 42633/400 = 106,6 A

Ответ

I = 106,6 A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: P_max = 0,5 W

Сопряжённое согласование

Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.

Z_L = Z_s* = 50 − j3 Ω

Наибольшая мощность

I = V_s/(2R_s) = 10/100 = 0,1 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 10²/(4·50) = 0,5 W

Ответ

P_max = 0,5 W

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,1403

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 314,2 Ω, X_C = 31,83 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(40² + (282,3)²) = 285,1 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 40/285,1 = 0,1403

Цепь индуктивная, поэтому коэффициент мощности отстающий.

Ответ

cos φ = 0,1403

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,7732 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (82,01)²) = 129,3 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 100/129,3 = 0,7732 A

Ответ

I = 0,7732 A

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: n = 1003 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Ток якоря

I_a = T/k = 0,4/0,2 = 2 A

Противо-ЭДС и скорость

E = 24 − 2·1,5 = 21 V

ω = E/k = 105 rad/s → n = 1003 rpm

Ответ

n = 1003 rpm

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: n = 1013 rpm

Ослабленная постоянная двигателя

k₂ = 0,85·1,2 = 1,02 V·s/rad

Новый ток якоря

I_a = 6/1,02 = 5,882 A

Новая скорость

ω = (120 − 5,882·2)/1,02 = 106,1 rad/s → n = 1013 rpm

Ответ

n = 1013 rpm

Ослабление поля — способ, которым привод постоянного тока работает выше основной скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems