Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 110 kW. При этой нагрузке его КПД равен 88%, а коэффициент мощности 0,88 (отстающий). Линейное напряжение сети 480 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 110 kWη = 88%cos φ = 0,88V_L = 480 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 80 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 80 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,92V_L = 690 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаторыСредняя

Усилитель с выходным сопротивлением 450 Ω питает громкоговоритель 50 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 450 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.

R_s = 450 ΩR_L = 50 Ω

a =

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 200 kVA имеет потери в стали 600 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) его КПД равен 96%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке P_cu,fl в ваттах.

S = 200 kVAP_core = 600 Wpf = 0,8η = 96%

P_cu,fl = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 21 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 240 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 21 kWpf = 0,8V = 240 V

Q = kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Источник 12 V (действующее значение), 50 Hz имеет внутреннее сопротивление Z_s = 20 + j15 Ω. Полное сопротивление нагрузки Z_L можно выбирать произвольно. Найдите наибольшую активную мощность P_max, которую можно передать нагрузке.

V_s = 12 V (rms)f = 50 HzZ_s = 20 + j15 Ω

P_max = W

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF

I = A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 24 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 24 V (rms)R = 50 ΩL = 200 mHC = 1 µF

V_L = V

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока отдаёт механическую мощность 4 kW при 960 rpm. Найдите момент на валу T.

P = 4 kWn = 960 rpm

T = N·m

10.Двигатели постоянного токаСложная

Небольшой двигатель постоянного тока имеет сопротивление якоря 2 Ω и работает от 48 V. Пренебрегая потерями на вращение, найдите наибольшую механическую мощность P_max, которую он может развить на любой скорости.

V = 48 VR_a = 2 Ω

P_max = W

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 170,9 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 110/0,88 = 125 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 125000/(√3·480·0,88) = 170,9 A

Ответ

I_L = 170,9 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 36,47 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,75) = 80·0,8819 = 70,55 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,92) = 80·0,426 = 34,08 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 36,47 kvar

Ответ

Q_C = 36,47 kvar

3.Трансформаторы

Ответ: a = 3

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Согласуйте приведённую нагрузку

a²·50 = 450

a = √(450/50) = √9 = 3

Ответ

a = 3

4.Трансформаторы

Ответ: P_cu,fl = 6067 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

P_out = 200·0,8 = 160 kW

P_in = 160000/0,96 = 166667 W

Суммарные потери и потери в меди

P_loss = 166667 − 160000 = 6667 W

P_cu,fl = 6667 − 600 = 6067 W

Ответ

P_cu,fl = 6067 W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 15,75 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,8) = 36,87°, tan φ = 0,75

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 21·0,75 = 15,75 kvar

Ответ

Q = 15,75 kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: P_max = 1,8 W

Сопряжённое согласование

Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.

Z_L = Z_s* = 20 − j15 Ω

Наибольшая мощность

I = V_s/(2R_s) = 12/40 = 0,3 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 12²/(4·20) = 1,8 W

Ответ

P_max = 1,8 W

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,02441 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−489)²) = 491,5 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 12/491,5 = 0,02441 A

Ответ

I = 0,02441 A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 214,7 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·1·10⁻⁶) = 2236 rad/s

I = V/R = 24/50 = 0,48 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 2236·0,2 = 447,2 Ω

V_L = I·X_L = 0,48·447,2 = 214,7 V

Ответ

V_L = 214,7 V

Это в Q = 8,944 раз больше напряжения источника.

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: T = 39,79 N·m

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость в rad/s

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

Крутящий момент

T = P/ω = 4000/100,5 = 39,79 N·m

Ответ

T = 39,79 N·m

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: P_max = 288 W

Мощность как функция противо-ЭДС

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 24 V

Наибольшая мощность

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 48²/(4·2) = 288 W

Ответ

P_max = 288 W

В этой точке КПД составляет всего 50 %, поэтому реальные двигатели работают заметно выше половины скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems