Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 22 kW. При этой нагрузке его КПД равен 93%, а коэффициент мощности 0,84 (отстающий). Линейное напряжение сети 480 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 22 kWη = 93%cos φ = 0,84V_L = 480 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 75 kW при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 75 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,95V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 5:1 приложено 1200 V. К вторичной обмотке подключён резистор 10 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 5:1V₁ = 1200 VR_L = 10 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 50 kVA имеет потери в стали 400 W и потери в меди 1200 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке S_η,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 50 kVAP_core = 400 WP_cu,fl = 1200 W

S_η,max = kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 35 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 230 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 35 kWpf = 0,65V = 230 V

Q = kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 12 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 240 V, 60 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 220 µF. Найдите новый коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

P = 12 kWpf₁ = 0,65V = 240 Vf = 60 HzC = 220 µF

cos φ =

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 100 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 1 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 1 V (rms)R = 2 ΩL = 100 mHC = 10 µF

V_L = V

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока отдаёт механическую мощность 15 kW при 1800 rpm. Найдите момент на валу T.

P = 15 kWn = 1800 rpm

T = N·m

10.Двигатели постоянного токаСложная

Прерыватель постоянного тока питает двигатель (k = 1,2 V·s/rad, R_a = 0,2 Ω) от шины постоянного тока 240 V. Среднее напряжение якоря равно D·240 V. Найдите коэффициент заполнения D, при котором двигатель вращается со скоростью 600 rpm при нагрузке 48 N·m.

V_dc = 240 Vk = 1,2 V·s/radR_a = 0,2 ΩT = 48 N·mn = 600 rpm

D = %

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 33,87 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 22/0,93 = 23,66 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 23656/(√3·480·0,84) = 33,87 A

Ответ

I_L = 33,87 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 176,1 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0,8) = 75·0,75 = 56,25 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0,95) = 75·0,3287 = 24,65 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 31,6 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 10533/(377·398,4²) = 176,1 µF

Ответ

C_ph = 176,1 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 4,8 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 1200/5 = 240 V

I₂ = 240/10 = 24 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/5 = 4,8 A

Ответ

I₁ = 4,8 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 250 Ω, и 1200/250 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: S_η,max = 28,87 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·1200 = 400 → x = √(400/1200) = 0,5774

Нагрузка при максимальном КПД

S_η,max = x·S = 0,5774·50 = 28,87 kVA

Ответ

S_η,max = 28,87 kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 40,92 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,65) = 49,46°, tan φ = 1,169

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 35·1,169 = 40,92 kvar

Ответ

Q = 40,92 kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,7919

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = 12·tan(arccos 0,65) = 14,03 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·60·220·10⁻⁶ = 4777 var = 4,777 kvar

Q₂ = 14,03 − 4,777 = 9,252 kvar

Новая полная мощность

S₂ = √(12² + 9,252²) = 15,15 kVA

Новый коэффициент мощности

cos φ = P/S₂ = 12/15,15 = 0,7919

Ответ

cos φ = 0,7919

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 23,45 Ω

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 100/25 = 4 A

I_X = V/X_C = 100/67,73 = 1,477 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(4² + 1,477²) = 4,264 A

Полное сопротивление

|Z| = V/I = 100/4,264 = 23,45 Ω

Ответ

|Z| = 23,45 Ω

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 50 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·10·10⁻⁶) = 1000 rad/s

I = V/R = 1/2 = 0,5 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 1000·0,1 = 100 Ω

V_L = I·X_L = 0,5·100 = 50 V

Ответ

V_L = 50 V

Это в Q = 50 раз больше напряжения источника.

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: T = 79,58 N·m

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость в rad/s

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

Крутящий момент

T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

Ответ

T = 79,58 N·m

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: D = 34,75 %

Необходимое напряжение якоря

V_a = 1,2·62,83 + 40·0,2 = 83,4 V

Коэффициент заполнения

D = 83,4/240 = 34,75 %

Ответ

D = 34,75 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems