Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 20 A от сети с линейным напряжением 690 V. Коэффициент мощности 0,82 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 690 VI_L = 20 Acos φ = 0,82

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 150 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 150 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,92V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

Однофазный трансформатор 250 kVA, 4800/240 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток I_HV в обмотке высшего напряжения.

S = 250 kVAV₁ = 4800 VV₂ = 240 V

I_HV = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 250 kVA имеет потери в стали 2000 W и потери в меди 6000 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 50% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 250 kVAP_core = 2000 WP_cu,fl = 6000 Wx = 0,5pf = 0,8

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 400 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 14 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном) и нагреватель мощностью 30 kW (коэффициент мощности 1). Найдите общий ток I, потребляемый от сети.

V = 400 VP₁ = 14 kW, pf₁ = 0,85 отстающийP₂ = 30 kW, pf₂ = 1

I = A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 15 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 240 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,9. Найдите новый ток линии I_new.

P = 15 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,9V = 240 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 24 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 10 Ω, L = 200 mH и C = 10 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.

R = 10 ΩL = 200 mHC = 10 µF

Q =

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 0,4 V·s/rad, R_a = 1 Ω) работает от 48 V. При полной нагрузке он потребляет 5 A. Пренебрегая током холостого хода, найдите его регулирование скорости SR = (n₀ − n_FL)/n_FL в процентах.

V = 48 Vk = 0,4 V·s/radR_a = 1 ΩI_FL = 5 A

SR = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока (k = 0,3 V·s/rad, R_a = 0,8 Ω) при фиксированном питании 24 V приводит нагрузку 0,6 N·m. Найдите последовательное сопротивление R_s, замедляющее его до 500 rpm.

V = 24 Vk = 0,3 V·s/radR_a = 0,8 ΩT = 0,6 N·mn = 500 rpm

R_s = Ω

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 19,6 kW

Полная мощность

S = √3·V_L·I_L = √3·690·20 = 23,9 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 23,9·0,82 = 19,6 kW

Ответ

P = 19,6 kW

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 1647 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,7) = 150·1,02 = 153 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,92) = 150·0,426 = 63,9 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 89,13 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 415/√3 = 239,6 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 29710/(314,2·239,6²) = 1647 µF

Ответ

C_ph = 1647 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I_HV = 52,08 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

I_HV = S/V = 250000/4800 = 52,08 A

Ответ

I_HV = 52,08 A

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 3500 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,25·6000 = 1500 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 2000 + 1500 = 3500 W

Ответ

P_loss = 3500 W

КПД при этой нагрузке η = 96,62%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 112,1 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 14·tan(arccos 0,85) = 8,676 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Суммы

P = 14 + 30 = 44 kW

Q = 8,676 + 0 = 8,676 kvar

S = √(44² + 8,676²) = 44,85 kVA

Общий ток

I = S/V = 44847/400 = 112,1 A

Ответ

I = 112,1 A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I_new = 69,44 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 15·tan(36,87°) = 11,25 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 15·tan(25,84°) = 7,265 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 3,985 kvar

Новый ток линии

I_new = P/(V·cos φ₂) = 15000/(240·0,9) = 69,44 A

Ответ

I_new = 69,44 A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 13,61 Ω

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 24/40 = 0,6 A

I_X = V/X_C = 24/14,47 = 1,659 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,6² + 1,659²) = 1,764 A

Полное сопротивление

|Z| = V/I = 24/1,764 = 13,61 Ω

Ответ

|Z| = 13,61 Ω

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: Q = 14,14

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,2·10·10⁻⁶)) = 112,5 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,2/(10·10⁻⁶)) = 14,14

Ответ

Q = 14,14

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: SR = 11,63 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода и при полной нагрузке

n₀ = 60·48/(2π·0,4) = 1146 rpm

n_FL = 60·(48 − 5·1)/(2π·0,4) = 1027 rpm

Регулирование скорости

SR = (1146 − 1027)/1027·100 = 11,63 %

Ответ

SR = 11,63 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: R_s = 3,346 Ω

Ток и противо-ЭДС

I_a = 0,6/0,3 = 2 A

E = 0,3·52,36 = 15,71 V

Последовательное сопротивление

R_a + R_s = (24 − 15,71)/2 = 4,146 Ω

R_s = 3,346 Ω

Ответ

R_s = 3,346 Ω

Резистор рассеивает 13,38 W; прерыватель регулирует скорость с гораздо меньшими потерями.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems