Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 6 + j8 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 208 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 208 VZ = 6 + j8 Ω на фазу

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 100 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,92V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

Однофазный трансформатор 250 kVA, 4800/240 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток I_HV в обмотке высшего напряжения.

S = 250 kVAV₁ = 4800 VV₂ = 240 V

I_HV = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 100 kVA имеет потери в стали 800 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) его КПД равен 96,5%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке P_cu,fl в ваттах.

S = 100 kVAP_core = 800 Wpf = 0,8η = 96,5%

P_cu,fl = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Индуктивная нагрузка потребляет 8 A и 1656 W от однофазной сети 230 V (действующее значение). Представьте её как сопротивление R, соединённое последовательно с реактивным сопротивлением X. Найдите R.

V = 230 VI = 8 AP = 1656 W

R = Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 28 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) от сети 230 V, 60 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 470 µF. Найдите новый ток линии I.

P = 28 kWpf₁ = 0,6V = 230 Vf = 60 HzC = 470 µF

I = A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 47 µF

cos φ =

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 20 Ω, L = 20 mH и C = 0,47 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.

R = 20 ΩL = 20 mHC = 0,47 µF

Q =

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока потребляет 15 A от источника 48 V. Сопротивление якоря равно 0,4 Ω, а потери на вращение (трение, сопротивление воздуха и потери в железе) составляют 50 W. Найдите его КПД η.

V = 48 VI_a = 15 AR_a = 0,4 ΩP_rot = 50 W

η = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока (k = 0,15 V·s/rad, R_a = 1,2 Ω) при фиксированном питании 24 V приводит нагрузку 0,3 N·m. Найдите последовательное сопротивление R_s, замедляющее его до 600 rpm.

V = 24 Vk = 0,15 V·s/radR_a = 1,2 ΩT = 0,3 N·mn = 600 rpm

R_s = Ω

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 7,788 kW

Фазное напряжение

V_ph = V_L = 208 V

Фазный ток

|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω

I_ph = 208/10 = 20,8 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·20,8²·6 = 7,788 kW

Ответ

P = 7,788 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,6, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 748,6 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,78) = 100·0,8023 = 80,23 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,92) = 100·0,426 = 42,6 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 37,63 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 12543/(314,2·230,9²) = 748,6 µF

Ответ

C_ph = 748,6 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I_HV = 52,08 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

I_HV = S/V = 250000/4800 = 52,08 A

Ответ

I_HV = 52,08 A

4.Трансформаторы

Ответ: P_cu,fl = 2102 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

P_out = 100·0,8 = 80 kW

P_in = 80000/0,965 = 82902 W

Суммарные потери и потери в меди

P_loss = 82902 − 80000 = 2902 W

P_cu,fl = 2902 − 800 = 2102 W

Ответ

P_cu,fl = 2102 W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: R = 25,88 Ω

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Сопротивление по активной мощности

R = P/I² = 1656/8² = 25,88 Ω

Ответ

R = 25,88 Ω

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 172 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = 28·tan(arccos 0,6) = 37,33 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·60·470·10⁻⁶ = 9373 var = 9,373 kvar

Q₂ = 37,33 − 9,373 = 27,96 kvar

Новая полная мощность

S₂ = √(28² + 27,96²) = 39,57 kVA

Новый ток линии

I = S₂/V = 39570/230 = 172 A

Ответ

I = 172 A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,2372

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 6,283 Ω, X_C = 67,73 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(15² + (−61,44)²) = 63,25 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 15/63,25 = 0,2372

Цепь ёмкостная, поэтому коэффициент мощности опережающий.

Ответ

cos φ = 0,2372

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: Q = 10,31

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,02·0,47·10⁻⁶)) = 1642 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,02/(0,47·10⁻⁶)) = 10,31

Ответ

Q = 10,31

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: η = 80,56 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Мощности

P_in = 48·15 = 720 W

P_dev = 42·15 = 630 W

P_out = 630 − 50 = 580 W

КПД

η = 580/720·100 = 80,56 %

Ответ

η = 80,56 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: R_s = 6,088 Ω

Ток и противо-ЭДС

I_a = 0,3/0,15 = 2 A

E = 0,15·62,83 = 9,425 V

Последовательное сопротивление

R_a + R_s = (24 − 9,425)/2 = 7,288 Ω

R_s = 6,088 Ω

Ответ

R_s = 6,088 Ω

Резистор рассеивает 24,35 W; прерыватель регулирует скорость с гораздо меньшими потерями.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems