Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 24 + j7 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 400 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 400 VZ = 24 + j7 Ω на фазу

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 80 kW при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 80 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,95V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

Усилитель с выходным сопротивлением 576 Ω питает громкоговоритель 4 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 576 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.

R_s = 576 ΩR_L = 4 Ω

a =

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 500 kVA имеет потери в стали 4000 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,95 (отстающий) его КПД равен 98,5%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке P_cu,fl в ваттах.

S = 500 kVAP_core = 4000 Wpf = 0,95η = 98,5%

P_cu,fl = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 230 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 13 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) и нагреватель мощностью 12 kW (коэффициент мощности 1). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

V = 230 VP₁ = 13 kW, pf₁ = 0,8 отстающийP₂ = 12 kW, pf₂ = 1

cos φ =

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Источник 230 V (действующее значение), 60 Hz имеет внутреннее сопротивление Z_s = 25 + j6 Ω. Полное сопротивление нагрузки Z_L можно выбирать произвольно. Нагрузка для максимальной мощности составлена из резистора, соединённого последовательно с конденсатором. Найдите ёмкость C.

V_s = 230 V (rms)f = 60 HzZ_s = 25 + j6 Ω

C = µF

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 4,7 µF

I = A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 2 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 2 V (rms)R = 10 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF

V_L = V

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока отдаёт механическую мощность 5,5 kW при 2000 rpm. Найдите момент на валу T.

P = 5,5 kWn = 2000 rpm

T = N·m

10.Двигатели постоянного токаСложная

Прерыватель постоянного тока питает двигатель (k = 0,4 V·s/rad, R_a = 0,2 Ω) от шины постоянного тока 120 V. Среднее напряжение якоря равно D·120 V. Найдите коэффициент заполнения D, при котором двигатель вращается со скоростью 750 rpm при нагрузке 8 N·m.

V_dc = 120 Vk = 0,4 V·s/radR_a = 0,2 ΩT = 8 N·mn = 750 rpm

D = %

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 18,43 kW

Фазное напряжение

V_ph = V_L = 400 V

Фазный ток

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω

I_ph = 400/25 = 16 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·16²·24 = 18,43 kW

Ответ

P = 18,43 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,96, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 187,8 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,8) = 80·0,75 = 60 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,95) = 80·0,3287 = 26,29 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 33,71 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 11235/(377·398,4²) = 187,8 µF

Ответ

C_ph = 187,8 µF

3.Трансформаторы

Ответ: a = 12

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Согласуйте приведённую нагрузку

a²·4 = 576

a = √(576/4) = √144 = 12

Ответ

a = 12

4.Трансформаторы

Ответ: P_cu,fl = 3234 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

P_out = 500·0,95 = 475 kW

P_in = 475000/0,985 = 482234 W

Суммарные потери и потери в меди

P_loss = 482234 − 475000 = 7234 W

P_cu,fl = 7234 − 4000 = 3234 W

Ответ

P_cu,fl = 3234 W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,9317

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 13·tan(arccos 0,8) = 9,75 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Суммы

P = 13 + 12 = 25 kW

Q = 9,75 + 0 = 9,75 kvar

S = √(25² + 9,75²) = 26,83 kVA

Общий коэффициент мощности

cos φ = P/S = 25/26,83 = 0,9317 отстающий

Ответ

cos φ = 0,9317

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: C = 442,1 µF

Сопряжённое согласование

Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.

Z_L = Z_s* = 25 − j6 Ω

Ёмкость

X_C = 6 Ω → C = 1/(2π·60·6) = 442,1 µF

Ответ

C = 442,1 µF

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,03989 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·4,7·10⁻⁶) = 677,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−598,7)²) = 601,7 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 24/601,7 = 0,03989 A

Ответ

I = 0,03989 A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 29,17 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·4,7·10⁻⁶) = 1459 rad/s

I = V/R = 2/10 = 0,2 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 1459·0,1 = 145,9 Ω

V_L = I·X_L = 0,2·145,9 = 29,17 V

Ответ

V_L = 29,17 V

Это в Q = 14,59 раз больше напряжения источника.

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: T = 26,26 N·m

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость в rad/s

ω = 2π·2000/60 = 209,4 rad/s

Крутящий момент

T = P/ω = 5500/209,4 = 26,26 N·m

Ответ

T = 26,26 N·m

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: D = 29,51 %

Необходимое напряжение якоря

V_a = 0,4·78,54 + 20·0,2 = 35,42 V

Коэффициент заполнения

D = 35,42/120 = 29,51 %

Ответ

D = 29,51 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems