Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 40 A от сети с линейным напряжением 208 V. Коэффициент мощности 0,88 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 208 VI_L = 40 Acos φ = 0,88

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 200 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 200 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,98V_L = 400 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 10:1 приложено 1200 V. К вторичной обмотке подключён резистор 10 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 10:1V₁ = 1200 VR_L = 10 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 200 kVA имеет потери в стали 800 W и потери в меди 2000 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 25% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 200 kVAP_core = 800 WP_cu,fl = 2000 Wx = 0,25pf = 0,8

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 230 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 17 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном) и нагреватель мощностью 14 kW (коэффициент мощности 1). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

V = 230 VP₁ = 17 kW, pf₁ = 0,85 отстающийP₂ = 14 kW, pf₂ = 1

cos φ =

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 10 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 240 V, 50 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 150 µF. Найдите новый ток линии I.

P = 10 kWpf₁ = 0,75V = 240 Vf = 50 HzC = 150 µF

I = A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 100 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩC = 100 µF

φ = °

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 10 µF

I = A

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 1,2 V·s/rad, R_a = 0,5 Ω) работает от 120 V. При полной нагрузке он потребляет 12 A. Пренебрегая током холостого хода, найдите его регулирование скорости SR = (n₀ − n_FL)/n_FL в процентах.

V = 120 Vk = 1,2 V·s/radR_a = 0,5 ΩI_FL = 12 A

SR = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Небольшой двигатель постоянного тока имеет сопротивление якоря 3 Ω и работает от 120 V. Пренебрегая потерями на вращение, найдите наибольшую механическую мощность P_max, которую он может развить на любой скорости.

V = 120 VR_a = 3 Ω

P_max = W

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 12,68 kW

Полная мощность

S = √3·V_L·I_L = √3·208·40 = 14,41 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 14,41·0,88 = 12,68 kW

Ответ

P = 12,68 kW

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 193,2 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,65) = 200·1,169 = 233,8 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,98) = 200·0,2031 = 40,61 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 193,2 kvar

Ответ

Q_C = 193,2 kvar

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 1,2 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 1200/10 = 120 V

I₂ = 120/10 = 12 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/10 = 1,2 A

Ответ

I₁ = 1,2 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 1000 Ω, и 1200/1000 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 925 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,0625·2000 = 125 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 800 + 125 = 925 W

Ответ

P_loss = 925 W

КПД при этой нагрузке η = 97,74%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,9468

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 17·tan(arccos 0,85) = 10,54 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Суммы

P = 17 + 14 = 31 kW

Q = 10,54 + 0 = 10,54 kvar

S = √(31² + 10,54²) = 32,74 kVA

Общий коэффициент мощности

cos φ = P/S = 31/32,74 = 0,9468 отстающий

Ответ

cos φ = 0,9468

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 48,82 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = 10·tan(arccos 0,75) = 8,819 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·50·150·10⁻⁶ = 2714 var = 2,714 kvar

Q₂ = 8,819 − 2,714 = 6,105 kvar

Новая полная мощность

S₂ = √(10² + 6,105²) = 11,72 kVA

Новый ток линии

I = S₂/V = 11716/240 = 48,82 A

Ответ

I = 48,82 A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −75,14 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 100/30 = 3,333 A

I_X = V/X_C = 100/7,958 = 12,57 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(3,333² + 12,57²) = 13 A

Угол сдвига фаз

Ток конденсатора опережает V, поэтому общий ток опережает и угол отрицателен.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(12,57/3,333) = −75,14°

Ответ

φ = −75,14°

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,4952 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (46,09)²) = 48,47 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 24/48,47 = 0,4952 A

Ответ

I = 0,4952 A

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: SR = 5,263 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода и при полной нагрузке

n₀ = 60·120/(2π·1,2) = 954,9 rpm

n_FL = 60·(120 − 12·0,5)/(2π·1,2) = 907,2 rpm

Регулирование скорости

SR = (954,9 − 907,2)/907,2·100 = 5,263 %

Ответ

SR = 5,263 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: P_max = 1200 W

Мощность как функция противо-ЭДС

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V

Наибольшая мощность

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 120²/(4·3) = 1200 W

Ответ

P_max = 1200 W

В этой точке КПД составляет всего 50 %, поэтому реальные двигатели работают заметно выше половины скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems