Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 11 kW. При этой нагрузке его КПД равен 93%, а коэффициент мощности 0,8 (отстающий). Линейное напряжение сети 690 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 11 kWη = 93%cos φ = 0,8V_L = 690 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 150 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 150 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,9V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 4:1 приложено 920 V. К вторичной обмотке подключён резистор 5 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 4:1V₁ = 920 VR_L = 5 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 150 kVA имеет потери в стали 450 W и потери в меди 900 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке S_η,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 150 kVAP_core = 450 WP_cu,fl = 900 W

S_η,max = kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 400 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 6 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) и нагрузка 9 kW при коэффициенте мощности 0,7 (ёмкостном). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

V = 400 VP₁ = 6 kW, pf₁ = 0,8 отстающийP₂ = 9 kW, pf₂ = 0,7 опережающий

cos φ =

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Источник 24 V (действующее значение), 50 Hz имеет внутреннее сопротивление Z_s = 8 + j6 Ω. Полное сопротивление нагрузки Z_L можно выбирать произвольно. Нагрузка для максимальной мощности составлена из резистора, соединённого последовательно с конденсатором. Найдите ёмкость C.

V_s = 24 V (rms)f = 50 HzZ_s = 8 + j6 Ω

C = µF

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 10 µF

I = A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 15 Ω, L = 100 mH и C = 0,022 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 15 ΩL = 100 mHC = 0,022 µF

B = Hz

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока потребляет 8 A от источника 48 V. Сопротивление якоря равно 0,25 Ω, а потери на вращение (трение, сопротивление воздуха и потери в железе) составляют 15 W. Найдите его КПД η.

V = 48 VI_a = 8 AR_a = 0,25 ΩP_rot = 15 W

η = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Небольшой двигатель постоянного тока имеет сопротивление якоря 0,5 Ω и работает от 48 V. Пренебрегая потерями на вращение, найдите наибольшую механическую мощность P_max, которую он может развить на любой скорости.

V = 48 VR_a = 0,5 Ω

P_max = W

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 12,37 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 11/0,93 = 11,83 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 11828/(√3·690·0,8) = 12,37 A

Ответ

I_L = 12,37 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 133,6 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,72) = 150·0,9639 = 144,6 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,9) = 150·0,4843 = 72,65 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 71,93 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 23977/(377·690²) = 133,6 µF

Ответ

C_ph = 133,6 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 11,5 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 920/4 = 230 V

I₂ = 230/5 = 46 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/4 = 11,5 A

Ответ

I₁ = 11,5 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 80 Ω, и 920/80 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: S_η,max = 106,1 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·900 = 450 → x = √(450/900) = 0,7071

Нагрузка при максимальном КПД

S_η,max = x·S = 0,7071·150 = 106,1 kVA

Ответ

S_η,max = 106,1 kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,9546

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 6·tan(arccos 0,8) = 4,5 kvar

Q₂ = −9·tan(arccos 0,7) = −9,182 kvar

Суммы

P = 6 + 9 = 15 kW

Q = 4,5 + (−9,182) = −4,682 kvar

S = √(15² + (−4,682)²) = 15,71 kVA

Общий коэффициент мощности

cos φ = P/S = 15/15,71 = 0,9546 опережающий

Ответ

cos φ = 0,9546

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: C = 530,5 µF

Сопряжённое согласование

Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.

Z_L = Z_s* = 8 − j6 Ω

Ёмкость

X_C = 6 Ω → C = 1/(2π·50·6) = 530,5 µF

Ответ

C = 530,5 µF

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,2224 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−33,49)²) = 44,96 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 10/44,96 = 0,2224 A

Ответ

I = 0,2224 A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 23,87 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,1·0,022·10⁻⁶)) = 3393 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,1/(0,022·10⁻⁶)) = 142,1

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 3393/142,1 = 23,87 Hz

Ответ

B = 23,87 Hz

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: η = 91,93 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Мощности

P_in = 48·8 = 384 W

P_dev = 46·8 = 368 W

P_out = 368 − 15 = 353 W

КПД

η = 353/384·100 = 91,93 %

Ответ

η = 91,93 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: P_max = 1152 W

Мощность как функция противо-ЭДС

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 24 V

Наибольшая мощность

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 48²/(4·0,5) = 1152 W

Ответ

P_max = 1152 W

В этой точке КПД составляет всего 50 %, поэтому реальные двигатели работают заметно выше половины скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems