Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая звездой, с полным сопротивлением 20 + j15 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 480 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 480 VZ = 20 + j15 Ω на фазу

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 150 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 150 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,95V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 2:1 приложено 460 V. К вторичной обмотке подключён резистор 6 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 2:1V₁ = 460 VR_L = 6 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 100 kVA имеет потери в стали 300 W и потери в меди 900 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 50% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,85 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 100 kVAP_core = 300 WP_cu,fl = 900 Wx = 0,5pf = 0,85

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 400 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 2 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) и нагрузка 30 kW при коэффициенте мощности 0,9 (ёмкостном). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

V = 400 VP₁ = 2 kW, pf₁ = 0,65 отстающийP₂ = 30 kW, pf₂ = 0,9 опережающий

cos φ =

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 10 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 230 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,98. Найдите реактивную мощность Q_C, которую должен поставлять конденсатор.

P = 10 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,98V = 230 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 120 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩC = 47 µF

I = A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 5 Ω, L = 2 mH и C = 0,01 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 5 ΩL = 2 mHC = 0,01 µF

B = Hz

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 0,75 N·m/A, R_a = 0,4 Ω) работает от 220 V и приводит нагрузку с моментом 15 N·m. Найдите его скорость n в rpm.

V = 220 Vk = 0,75 N·m/AR_a = 0,4 ΩT = 15 N·m

n = rpm

10.Двигатели постоянного токаСложная

Прерыватель постоянного тока питает двигатель (k = 0,75 V·s/rad, R_a = 1,2 Ω) от шины постоянного тока 120 V. Среднее напряжение якоря равно D·120 V. Найдите коэффициент заполнения D, при котором двигатель вращается со скоростью 300 rpm при нагрузке 1,5 N·m.

V_dc = 120 Vk = 0,75 V·s/radR_a = 1,2 ΩT = 1,5 N·mn = 300 rpm

D = %

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 7,373 kW

Фазное напряжение

V_ph = 480/√3 = 277,1 V

Фазный ток

|Z| = √(20² + 15²) = 25 Ω

I_ph = 277,1/25 = 11,09 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·11,09²·20 = 7,373 kW

Ответ

P = 7,373 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,8, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 95,28 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,72) = 150·0,9639 = 144,6 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,95) = 150·0,3287 = 49,3 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 95,28 kvar

Ответ

Q_C = 95,28 kvar

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 19,17 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 460/2 = 230 V

I₂ = 230/6 = 38,33 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/2 = 19,17 A

Ответ

I₁ = 19,17 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 24 Ω, и 460/24 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 525 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,25·900 = 225 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 300 + 225 = 525 W

Ответ

P_loss = 525 W

КПД при этой нагрузке η = 98,78%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,9345

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 2·tan(arccos 0,65) = 2,338 kvar

Q₂ = −30·tan(arccos 0,9) = −14,53 kvar

Суммы

P = 2 + 30 = 32 kW

Q = 2,338 + (−14,53) = −12,19 kvar

S = √(32² + (−12,19)²) = 34,24 kVA

Общий коэффициент мощности

cos φ = P/S = 32/34,24 = 0,9345 опережающий

Ответ

cos φ = 0,9345

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q_C = 6,789 kvar

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 10·tan(41,41°) = 8,819 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 10·tan(11,48°) = 2,031 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 6,789 kvar

Ответ

Q_C = 6,789 kvar

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 4,643 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 120/40 = 3 A

I_X = V/X_C = 120/33,86 = 3,544 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(3² + 3,544²) = 4,643 A

Ответ

I = 4,643 A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 397,9 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,002·0,01·10⁻⁶)) = 35588 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,002/(0,01·10⁻⁶)) = 89,44

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 35588/89,44 = 397,9 Hz

Ответ

B = 397,9 Hz

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: n = 2699 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Ток якоря

I_a = T/k = 15/0,75 = 20 A

Противо-ЭДС и скорость

E = 220 − 20·0,4 = 212 V

ω = E/k = 282,7 rad/s → n = 2699 rpm

Ответ

n = 2699 rpm

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: D = 21,63 %

Необходимое напряжение якоря

V_a = 0,75·31,42 + 2·1,2 = 25,96 V

Коэффициент заполнения

D = 25,96/120 = 21,63 %

Ответ

D = 21,63 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems