Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая звездой, с полным сопротивлением 20 + j15 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 208 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 208 VZ = 20 + j15 Ω на фазу

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 250 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 250 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,95V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

Однофазный трансформатор 150 kVA, 480/240 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток I_HV в обмотке высшего напряжения.

S = 150 kVAV₁ = 480 VV₂ = 240 V

I_HV = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 150 kVA имеет потери в стали 750 W и потери в меди 2250 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке S_η,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 150 kVAP_core = 750 WP_cu,fl = 2250 W

S_η,max = kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 37 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) от сети 240 V. Найдите ток линии I.

P = 37 kWpf = 0,6V = 240 V

I = A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 5 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 240 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,9. Найдите новый ток линии I_new.

P = 5 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,9V = 240 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с C = 2,2 µF должен резонировать на частоте 500 Hz. Найдите необходимую индуктивность L.

f₀ = 500 HzC = 2,2 µF

L = mH

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите резонансную частоту f₀ цепи.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока с k = 0,4 V·s/rad работает от 120 V. Пренебрегая всеми потерями на холостом ходу, найдите его скорость холостого хода n₀ в rpm.

V = 120 Vk = 0,4 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Двигатели постоянного токаСложная

Небольшой двигатель постоянного тока имеет сопротивление якоря 0,8 Ω и работает от 120 V. Пренебрегая потерями на вращение, найдите наибольшую механическую мощность P_max, которую он может развить на любой скорости.

V = 120 VR_a = 0,8 Ω

P_max = W

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 1,384 kW

Фазное напряжение

V_ph = 208/√3 = 120,1 V

Фазный ток

|Z| = √(20² + 15²) = 25 Ω

I_ph = 120,1/25 = 4,804 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·4,804²·20 = 1,384 kW

Ответ

P = 1,384 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,8, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 2556 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,75) = 250·0,8819 = 220,5 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,95) = 250·0,3287 = 82,17 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 138,3 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 415/√3 = 239,6 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 46103/(314,2·239,6²) = 2556 µF

Ответ

C_ph = 2556 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I_HV = 312,5 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

I_HV = S/V = 150000/480 = 312,5 A

Ответ

I_HV = 312,5 A

4.Трансформаторы

Ответ: S_η,max = 86,6 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·2250 = 750 → x = √(750/2250) = 0,5774

Нагрузка при максимальном КПД

S_η,max = x·S = 0,5774·150 = 86,6 kVA

Ответ

S_η,max = 86,6 kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 256,9 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток линии

Работу совершает только активная часть мощности, поэтому разделите на коэффициент мощности.

I = P/(V·cos φ) = 37000/(240·0,6) = 256,9 A

Ответ

I = 256,9 A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I_new = 23,15 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 5·tan(36,87°) = 3,75 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 5·tan(25,84°) = 2,422 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 1,328 kvar

Новый ток линии

I_new = P/(V·cos φ₂) = 5000/(240·0,9) = 23,15 A

Ответ

I_new = 23,15 A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: L = 46,06 mH

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(3142²·2,2·10⁻⁶) = 46,06 mH

Ответ

L = 46,06 mH

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: f₀ = 112,5 Hz

Резонанс

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC). Частота сети не важна.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,2·10·10⁻⁶)) = 112,5 Hz

Ответ

f₀ = 112,5 Hz

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: n₀ = 2865 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода

ω₀ = V/k = 120/0,4 = 300 rad/s

n₀ = 60·300/(2π) = 2865 rpm

Ответ

n₀ = 2865 rpm

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: P_max = 4500 W

Мощность как функция противо-ЭДС

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V

Наибольшая мощность

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 120²/(4·0,8) = 4500 W

Ответ

P_max = 4500 W

В этой точке КПД составляет всего 50 %, поэтому реальные двигатели работают заметно выше половины скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems