Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 11 kW. При этой нагрузке его КПД равен 93%, а коэффициент мощности 0,84 (отстающий). Линейное напряжение сети 400 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 11 kWη = 93%cos φ = 0,84V_L = 400 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 75 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 75 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,92V_L = 690 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаторыСредняя

Однофазный трансформатор 10 kVA, 6600/230 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток I_LV в обмотке низшего напряжения.

S = 10 kVAV₁ = 6600 VV₂ = 230 V

I_LV = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 250 kVA имеет потери в стали 1500 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,85 (отстающий) его КПД равен 98,5%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке P_cu,fl в ваттах.

S = 250 kVAP_core = 1500 Wpf = 0,85η = 98,5%

P_cu,fl = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Нагрузка с полным сопротивлением Z = 5 + j12 Ω подключена к однофазной сети 240 V (действующее значение). Найдите полную мощность S.

V = 240 VZ = 5 + j12 Ω

S = VA

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 20 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) от сети 400 V, 60 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 220 µF. Найдите новый коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

P = 20 kWpf₁ = 0,6V = 400 Vf = 60 HzC = 220 µF

cos φ =

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 10 µF

cos φ =

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 10 µF

I = A

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока с k = 0,75 V·s/rad работает от 120 V. Пренебрегая всеми потерями на холостом ходу, найдите его скорость холостого хода n₀ в rpm.

V = 120 Vk = 0,75 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Двигатели постоянного токаСложная

Небольшой двигатель постоянного тока имеет сопротивление якоря 2 Ω и работает от 120 V. Пренебрегая потерями на вращение, найдите наибольшую механическую мощность P_max, которую он может развить на любой скорости.

V = 120 VR_a = 2 Ω

P_max = W

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 20,32 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 11/0,93 = 11,83 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 11828/(√3·400·0,84) = 20,32 A

Ответ

I_L = 20,32 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 55,73 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0,65) = 75·1,169 = 87,68 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0,92) = 75·0,426 = 31,95 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 55,73 kvar

Ответ

Q_C = 55,73 kvar

3.Трансформаторы

Ответ: I_LV = 43,48 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

I_LV = S/V = 10000/230 = 43,48 A

Ответ

I_LV = 43,48 A

4.Трансформаторы

Ответ: P_cu,fl = 1736 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

P_out = 250·0,85 = 212,5 kW

P_in = 212500/0,985 = 215736 W

Суммарные потери и потери в меди

P_loss = 215736 − 212500 = 3236 W

P_cu,fl = 3236 − 1500 = 1736 W

Ответ

P_cu,fl = 1736 W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: S = 4431 VA

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω

I = V/|Z| = 240/13 = 18,46 A

Полная мощность

S = V·I = 240·18,46 = 4431 VA

Ответ

S = 4431 VA

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,8308

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = 20·tan(arccos 0,6) = 26,67 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·60·220·10⁻⁶ = 13270 var = 13,27 kvar

Q₂ = 26,67 − 13,27 = 13,4 kvar

Новая полная мощность

S₂ = √(20² + 13,4²) = 24,07 kVA

Новый коэффициент мощности

cos φ = P/S₂ = 20/24,07 = 0,8308

Ответ

cos φ = 0,8308

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,2219

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 471,2 Ω, X_C = 31,83 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(100² + (439,4)²) = 450,6 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 100/450,6 = 0,2219

Цепь индуктивная, поэтому коэффициент мощности отстающий.

Ответ

cos φ = 0,2219

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 1,099 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,15 = 56,55 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−208,7)²) = 209,2 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 230/209,2 = 1,099 A

Ответ

I = 1,099 A

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: n₀ = 1528 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода

ω₀ = V/k = 120/0,75 = 160 rad/s

n₀ = 60·160/(2π) = 1528 rpm

Ответ

n₀ = 1528 rpm

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: P_max = 1800 W

Мощность как функция противо-ЭДС

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V

Наибольшая мощность

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 120²/(4·2) = 1800 W

Ответ

P_max = 1800 W

В этой точке КПД составляет всего 50 %, поэтому реальные двигатели работают заметно выше половины скорости.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems