Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая звездой, с полным сопротивлением 15 + j20 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 208 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 208 VZ = 15 + j20 Ω на фазу

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 80 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 80 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,92V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

Однофазный трансформатор 25 kVA, 10000/400 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток I_HV в обмотке высшего напряжения.

S = 25 kVAV₁ = 10000 VV₂ = 400 V

I_HV = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 250 kVA имеет потери в стали 1250 W и потери в меди 1875 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 50% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,9 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 250 kVAP_core = 1250 WP_cu,fl = 1875 Wx = 0,5pf = 0,9

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Нагрузка с полным сопротивлением Z = 12 + j5 Ω подключена к однофазной сети 240 V (действующее значение). Найдите потребляемую ею реактивную мощность Q.

V = 240 VZ = 12 + j5 Ω

Q = var

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 16 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 230 V, 60 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 100 µF. Найдите новый коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

P = 16 kWpf₁ = 0,65V = 230 Vf = 60 HzC = 100 µF

cos φ =

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 100 µF

φ = °

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 5 Ω, L = 50 mH и C = 10 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.

R = 5 ΩL = 50 mHC = 10 µF

Q =

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 1 N·m/A, R_a = 2 Ω) работает от 220 V и приводит нагрузку с моментом 4 N·m. Найдите его скорость n в rpm.

V = 220 Vk = 1 N·m/AR_a = 2 ΩT = 4 N·m

n = rpm

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока независимого возбуждения на 120 V (R_a = 1 Ω) вращается со скоростью 1000 rpm при токе якоря 10 A. Нагрузка изменяется, и ток становится равным 2,5 A при неизменном поле. Найдите новую скорость n₂.

V = 120 VR_a = 1 Ωn₁ = 1000 rpmI_a1 = 10 AI_a2 = 2,5 A

n₂ = rpm

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 1,038 kW

Фазное напряжение

V_ph = 208/√3 = 120,1 V

Фазный ток

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω

I_ph = 120,1/25 = 4,804 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·4,804²·15 = 1,038 kW

Ответ

P = 1,038 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,6, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 239,7 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,72) = 80·0,9639 = 77,11 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,92) = 80·0,426 = 34,08 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 43,03 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 14343/(377·398,4²) = 239,7 µF

Ответ

C_ph = 239,7 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I_HV = 2,5 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

I_HV = S/V = 25000/10000 = 2,5 A

Ответ

I_HV = 2,5 A

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 1719 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,25·1875 = 468,8 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 1250 + 468,8 = 1719 W

Ответ

P_loss = 1719 W

КПД при этой нагрузке η = 98,5%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 1704 var

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток

|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω

I = V/|Z| = 240/13 = 18,46 A

Реактивная мощность

Q = I²·X = 18,46²·5 = 1704 var

Ответ

Q = 1704 var

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,6916

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = 16·tan(arccos 0,65) = 18,71 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·60·100·10⁻⁶ = 1994 var = 1,994 kvar

Q₂ = 18,71 − 1,994 = 16,71 kvar

Новая полная мощность

S₂ = √(16² + 16,71²) = 23,14 kVA

Новый коэффициент мощности

cos φ = P/S₂ = 16/23,14 = 0,6916

Ответ

cos φ = 0,6916

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = 86,34 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,2 = 628,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (625,1)²) = 626,4 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(625,1/40) = 86,34°

Ответ

φ = 86,34°

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: Q = 14,14

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,05·10·10⁻⁶)) = 225,1 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,05/(10·10⁻⁶)) = 14,14

Ответ

Q = 14,14

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: n = 2024 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Ток якоря

I_a = T/k = 4/1 = 4 A

Противо-ЭДС и скорость

E = 220 − 4·2 = 212 V

ω = E/k = 212 rad/s → n = 2024 rpm

Ответ

n = 2024 rpm

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: n₂ = 1068 rpm

Противо-ЭДС до и после

E₁ = 120 − 10·1 = 110 V

E₂ = 120 − 2,5·1 = 117,5 V

Новая скорость

n₂ = 1000·117,5/110 = 1068 rpm

Ответ

n₂ = 1068 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems