Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 7 + j24 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 480 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 480 VZ = 7 + j24 Ω на фазу

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 60 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 60 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,95V_L = 690 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаторыСредняя

Усилитель с выходным сопротивлением 72 Ω питает громкоговоритель 2 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 72 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.

R_s = 72 ΩR_L = 2 Ω

a =

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 500 kVA имеет потери в стали 2500 W и потери в меди 6250 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 75% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,95 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 500 kVAP_core = 2500 WP_cu,fl = 6250 Wx = 0,75pf = 0,95

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Нагрузка с полным сопротивлением Z = 24 + j7 Ω подключена к однофазной сети 120 V (действующее значение). Найдите полную мощность S.

V = 120 VZ = 24 + j7 Ω

S = VA

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 45 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 240 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,9. Найдите новый ток линии I_new.

P = 45 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,9V = 240 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с C = 2,2 µF должен резонировать на частоте 200 Hz. Найдите необходимую индуктивность L.

f₀ = 200 HzC = 2,2 µF

L = mH

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 50 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR₁ = 15 ΩR₂ = 100 ΩC = 22 µF

I = A

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока с k = 0,75 V·s/rad работает от 48 V. Пренебрегая всеми потерями на холостом ходу, найдите его скорость холостого хода n₀ в rpm.

V = 48 Vk = 0,75 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока (k = 0,3 V·s/rad, R_a = 1,2 Ω) при фиксированном питании 24 V приводит нагрузку 0,6 N·m. Найдите последовательное сопротивление R_s, замедляющее его до 300 rpm.

V = 24 Vk = 0,3 V·s/radR_a = 1,2 ΩT = 0,6 N·mn = 300 rpm

R_s = Ω

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 7,741 kW

Фазное напряжение

V_ph = V_L = 480 V

Фазный ток

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω

I_ph = 480/25 = 19,2 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·19,2²·7 = 7,741 kW

Ответ

P = 7,741 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,28, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 38,11 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,72) = 60·0,9639 = 57,83 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,95) = 60·0,3287 = 19,72 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 38,11 kvar

Ответ

Q_C = 38,11 kvar

3.Трансформаторы

Ответ: a = 6

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Согласуйте приведённую нагрузку

a²·2 = 72

a = √(72/2) = √36 = 6

Ответ

a = 6

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 6016 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,5625·6250 = 3516 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 2500 + 3516 = 6016 W

Ответ

P_loss = 6016 W

КПД при этой нагрузке η = 98,34%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: S = 576 VA

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω

I = V/|Z| = 120/25 = 4,8 A

Полная мощность

S = V·I = 120·4,8 = 576 VA

Ответ

S = 576 VA

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I_new = 208,3 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 45·tan(49,46°) = 52,61 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 45·tan(25,84°) = 21,79 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 30,82 kvar

Новый ток линии

I_new = P/(V·cos φ₂) = 45000/(240·0,9) = 208,3 A

Ответ

I_new = 208,3 A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: L = 287,8 mH

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(1257²·2,2·10⁻⁶) = 287,8 mH

Ответ

L = 287,8 mH

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,5616 A

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·60·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 59,25 − j49,14 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 15 + 59,25 − j49,14 = 74,25 − j49,14 Ω

|Z| = √(74,25² + 49,14²) = 89,03 Ω

Ток

I = V/|Z| = 50/89,03 = 0,5616 A

Ответ

I = 0,5616 A

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: n₀ = 611,2 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода

ω₀ = V/k = 48/0,75 = 64 rad/s

n₀ = 60·64/(2π) = 611,2 rpm

Ответ

n₀ = 611,2 rpm

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: R_s = 6,088 Ω

Ток и противо-ЭДС

I_a = 0,6/0,3 = 2 A

E = 0,3·31,42 = 9,425 V

Последовательное сопротивление

R_a + R_s = (24 − 9,425)/2 = 7,288 Ω

R_s = 6,088 Ω

Ответ

R_s = 6,088 Ω

Резистор рассеивает 24,35 W; прерыватель регулирует скорость с гораздо меньшими потерями.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems