Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 22 kW. При этой нагрузке его КПД равен 88%, а коэффициент мощности 0,9 (отстающий). Линейное напряжение сети 400 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 22 kWη = 88%cos φ = 0,9V_L = 400 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 100 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

Однофазный трансформатор 50 kVA, 2400/240 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток I_LV в обмотке низшего напряжения.

S = 50 kVAV₁ = 2400 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 100 kVA имеет потери в стали 300 W и потери в меди 600 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 25% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,9 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 100 kVAP_core = 300 WP_cu,fl = 600 Wx = 0,25pf = 0,9

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 230 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 29 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) и нагрузка 4 kW при коэффициенте мощности 0,9 (индуктивном). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

V = 230 VP₁ = 29 kW, pf₁ = 0,7 отстающийP₂ = 4 kW, pf₂ = 0,9 отстающий

cos φ =

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 50 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) от сети 230 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,95. Найдите новый ток линии I_new.

P = 50 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,95V = 230 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и катушка включены параллельно в сеть 50 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 100 mH

I = A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 50 Ω, L = 1 mH и C = 0,01 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.

R = 50 ΩL = 1 mHC = 0,01 µF

Q =

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока потребляет 20 A от источника 110 V. Сопротивление якоря равно 0,4 Ω, а потери на вращение (трение, сопротивление воздуха и потери в железе) составляют 102 W. Найдите его КПД η.

V = 110 VI_a = 20 AR_a = 0,4 ΩP_rot = 102 W

η = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Прерыватель постоянного тока питает двигатель (k = 0,3 V·s/rad, R_a = 2 Ω) от шины постоянного тока 220 V. Среднее напряжение якоря равно D·220 V. Найдите коэффициент заполнения D, при котором двигатель вращается со скоростью 400 rpm при нагрузке 1,8 N·m.

V_dc = 220 Vk = 0,3 V·s/radR_a = 2 ΩT = 1,8 N·mn = 400 rpm

D = %

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 40,09 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 22/0,88 = 25 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 25000/(√3·400·0,9) = 40,09 A

Ответ

I_L = 40,09 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 440,5 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,8) = 100·0,75 = 75 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,9) = 100·0,4843 = 48,43 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 26,57 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 8856/(377·230,9²) = 440,5 µF

Ответ

C_ph = 440,5 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I_LV = 208,3 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

I_LV = S/V = 50000/240 = 208,3 A

Ответ

I_LV = 208,3 A

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 337,5 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,0625·600 = 37,5 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 300 + 37,5 = 337,5 W

Ответ

P_loss = 337,5 W

КПД при этой нагрузке η = 98,52%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,7231

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 29·tan(arccos 0,7) = 29,59 kvar

Q₂ = 4·tan(arccos 0,9) = 1,937 kvar

Суммы

P = 29 + 4 = 33 kW

Q = 29,59 + 1,937 = 31,52 kvar

S = √(33² + 31,52²) = 45,64 kVA

Общий коэффициент мощности

cos φ = P/S = 33/45,64 = 0,7231 отстающий

Ответ

cos φ = 0,7231

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I_new = 228,8 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 50·tan(45,57°) = 51,01 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 50·tan(18,19°) = 16,43 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 34,58 kvar

Новый ток линии

I_new = P/(V·cos φ₂) = 50000/(230·0,95) = 228,8 A

Ответ

I_new = 228,8 A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 2,4 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_L = ωL = 2π·60·0,1 = 37,7 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 50/25 = 2 A

I_X = V/X_L = 50/37,7 = 1,326 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2² + 1,326²) = 2,4 A

Ответ

I = 2,4 A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: Q = 6,325

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,001·0,01·10⁻⁶)) = 50329 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,001/(0,01·10⁻⁶)) = 6,325

Ответ

Q = 6,325

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: η = 88,09 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Мощности

P_in = 110·20 = 2200 W

P_dev = 102·20 = 2040 W

P_out = 2040 − 102 = 1938 W

КПД

η = 1938/2200·100 = 88,09 %

Ответ

η = 88,09 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: D = 11,17 %

Необходимое напряжение якоря

V_a = 0,3·41,89 + 6·2 = 24,57 V

Коэффициент заполнения

D = 24,57/220 = 11,17 %

Ответ

D = 11,17 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems