Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 90 kW. При этой нагрузке его КПД равен 93%, а коэффициент мощности 0,85 (отстающий). Линейное напряжение сети 415 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 90 kWη = 93%cos φ = 0,85V_L = 415 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 60 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,9V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

К вторичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 5:1 подключён резистор 8 Ω. Найдите сопротивление R_1′ со стороны первичной обмотки.

N₁:N₂ = 5:1R_L = 8 Ω

R_1′ = Ω

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 150 kVA имеет потери в стали 900 W и потери в меди 2250 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 25% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,85 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 150 kVAP_core = 900 WP_cu,fl = 2250 Wx = 0,25pf = 0,85

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Нагрузка с полным сопротивлением Z = 4 + j3 Ω подключена к однофазной сети 240 V (действующее значение). Найдите полную мощность S.

V = 240 VZ = 4 + j3 Ω

S = VA

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 12 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 400 V, 60 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 150 µF. Найдите новый ток линии I.

P = 12 kWpf₁ = 0,75V = 400 Vf = 60 HzC = 150 µF

I = A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 200 mHC = 22 µF

I = A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 1 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 1 V (rms)R = 20 ΩL = 50 mHC = 10 µF

V_L = V

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока с k = 0,12 V·s/rad работает от 24 V. Пренебрегая всеми потерями на холостом ходу, найдите его скорость холостого хода n₀ в rpm.

V = 24 Vk = 0,12 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Двигатели постоянного токаСложная

Прерыватель постоянного тока питает двигатель (k = 0,12 V·s/rad, R_a = 2 Ω) от шины постоянного тока 220 V. Среднее напряжение якоря равно D·220 V. Найдите коэффициент заполнения D, при котором двигатель вращается со скоростью 600 rpm при нагрузке 0,24 N·m.

V_dc = 220 Vk = 0,12 V·s/radR_a = 2 ΩT = 0,24 N·mn = 600 rpm

D = %

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 158,4 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 90/0,93 = 96,77 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 96774/(√3·415·0,85) = 158,4 A

Ответ

I_L = 158,4 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 76,31 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,65) = 60·1,169 = 70,15 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,9) = 60·0,4843 = 29,06 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 41,09 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 13696/(377·690²) = 76,31 µF

Ответ

C_ph = 76,31 µF

3.Трансформаторы

Ответ: R_1′ = 200 Ω

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Приведённое сопротивление

Напряжение растёт в a раз, а ток уменьшается в a раз, поэтому отношение V/I растёт в a² раз.

R_1′ = a²·R_L = 5²·8 = 200 Ω

Ответ

R_1′ = 200 Ω

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 1041 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,0625·2250 = 140,6 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 900 + 140,6 = 1041 W

Ответ

P_loss = 1041 W

КПД при этой нагрузке η = 96,84%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: S = 11520 VA

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток

|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω

I = V/|Z| = 240/5 = 48 A

Полная мощность

S = V·I = 240·48 = 11520 VA

Ответ

S = 11520 VA

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 30,24 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = 12·tan(arccos 0,75) = 10,58 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·60·150·10⁻⁶ = 9048 var = 9,048 kvar

Q₂ = 10,58 − 9,048 = 1,535 kvar

Новая полная мощность

S₂ = √(12² + 1,535²) = 12,1 kVA

Новый ток линии

I = S₂/V = 12098/400 = 30,24 A

Ответ

I = 30,24 A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,1402 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−81,85)²) = 85,59 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 12/85,59 = 0,1402 A

Ответ

I = 0,1402 A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 3,536 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·10·10⁻⁶) = 1414 rad/s

I = V/R = 1/20 = 0,05 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 1414·0,05 = 70,71 Ω

V_L = I·X_L = 0,05·70,71 = 3,536 V

Ответ

V_L = 3,536 V

Это в Q = 3,536 раз больше напряжения источника.

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: n₀ = 1910 rpm

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода

ω₀ = V/k = 24/0,12 = 200 rad/s

n₀ = 60·200/(2π) = 1910 rpm

Ответ

n₀ = 1910 rpm

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: D = 5,245 %

Необходимое напряжение якоря

V_a = 0,12·62,83 + 2·2 = 11,54 V

Коэффициент заполнения

D = 11,54/220 = 5,245 %

Ответ

D = 5,245 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems