Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 18,5 kW. При этой нагрузке его КПД равен 90%, а коэффициент мощности 0,88 (отстающий). Линейное напряжение сети 690 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 18,5 kWη = 90%cos φ = 0,88V_L = 690 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 60 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,92V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

Усилитель с выходным сопротивлением 7200 Ω питает громкоговоритель 50 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 7200 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.

R_s = 7200 ΩR_L = 50 Ω

a =

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 75 kVA имеет потери в стали 450 W и потери в меди 1800 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке S_η,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 75 kVAP_core = 450 WP_cu,fl = 1800 W

S_η,max = kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Нагрузка с полным сопротивлением Z = 12 + j9 Ω подключена к однофазной сети 240 V (действующее значение). Найдите потребляемую ею активную мощность P.

V = 240 VZ = 12 + j9 Ω

P = W

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазный трансформатор 200 kVA питает нагрузку 92 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?

S_max = 200 kVAP₁ = 92 kWpf₁ = 0,6

ΔP = kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите активную мощность P, потребляемую от источника.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 100 µF

P = W

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 100 µF

V_C = V

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока потребляет 12 A от источника 120 V. Сопротивление якоря равно 0,4 Ω, а потери на вращение (трение, сопротивление воздуха и потери в железе) составляют 55 W. Найдите его КПД η.

V = 120 VI_a = 12 AR_a = 0,4 ΩP_rot = 55 W

η = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока независимого возбуждения на 24 V (R_a = 0,8 Ω) вращается со скоростью 1800 rpm при токе якоря 4 A. Нагрузка изменяется, и ток становится равным 2 A при неизменном поле. Найдите новую скорость n₂.

V = 24 VR_a = 0,8 Ωn₁ = 1800 rpmI_a1 = 4 AI_a2 = 2 A

n₂ = rpm

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 19,55 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 18,5/0,9 = 20,56 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 20556/(√3·690·0,88) = 19,55 A

Ответ

I_L = 19,55 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 139,1 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,78) = 60·0,8023 = 48,14 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,92) = 60·0,426 = 25,56 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 22,58 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 7526/(314,2·415²) = 139,1 µF

Ответ

C_ph = 139,1 µF

3.Трансформаторы

Ответ: a = 12

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Согласуйте приведённую нагрузку

a²·50 = 7200

a = √(7200/50) = √144 = 12

Ответ

a = 12

4.Трансформаторы

Ответ: S_η,max = 37,5 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·1800 = 450 → x = √(450/1800) = 0,5

Нагрузка при максимальном КПД

S_η,max = x·S = 0,5·75 = 37,5 kVA

Ответ

S_η,max = 37,5 kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: P = 3072 W

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток

|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω

I = V/|Z| = 240/15 = 16 A

Активная мощность

P = I²·R = 16²·12 = 3072 W

Ответ

P = 3072 W

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: ΔP = 65,96 kW

Реактивная мощность существующей нагрузки

Q₁ = 92·tan(arccos 0,6) = 122,7 kvar

Наибольшая суммарная активная мощность

При полной нагрузке S = S_max, а Q от активной нагрузки не меняется.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 122,7²) = 158 kW

Дополнительная активная мощность

ΔP = 158 − 92 = 65,96 kW

Ответ

ΔP = 65,96 kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: P = 9,588 W

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 125,7 Ω, X_C = 15,92 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(60² + (109,7)²) = 125,1 Ω

Активная мощность

Катушки и конденсаторы только запасают и возвращают энергию; всю активную мощность потребляет резистор.

I = 50/125,1 = 0,3997 A

P = I²·R = 0,3997²·60 = 9,588 W

Ответ

P = 9,588 W

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 0,5051 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,2 = 628,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (625,1)²) = 630,2 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 100/630,2 = 0,1587 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,1587·3,183 = 0,5051 V

Ответ

V_C = 0,5051 V

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: η = 92,18 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Мощности

P_in = 120·12 = 1440 W

P_dev = 115,2·12 = 1382 W

P_out = 1382 − 55 = 1327 W

КПД

η = 1327/1440·100 = 92,18 %

Ответ

η = 92,18 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: n₂ = 1938 rpm

Противо-ЭДС до и после

E₁ = 24 − 4·0,8 = 20,8 V

E₂ = 24 − 2·0,8 = 22,4 V

Новая скорость

n₂ = 1800·22,4/20,8 = 1938 rpm

Ответ

n₂ = 1938 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems