Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 75 A от сети с линейным напряжением 208 V. Коэффициент мощности 0,95 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 208 VI_L = 75 Acos φ = 0,95

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 200 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 200 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,92V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

К вторичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 3:1 подключён резистор 16 Ω. Найдите сопротивление R_1′ со стороны первичной обмотки.

N₁:N₂ = 3:1R_L = 16 Ω

R_1′ = Ω

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 150 kVA имеет потери в стали 750 W и потери в меди 2250 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке S_η,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 150 kVAP_core = 750 WP_cu,fl = 2250 W

S_η,max = kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Нагрузка с полным сопротивлением Z = 7 + j24 Ω подключена к однофазной сети 240 V (действующее значение). Найдите полную мощность S.

V = 240 VZ = 7 + j24 Ω

S = VA

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазный трансформатор 150 kVA питает нагрузку 79 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?

S_max = 150 kVAP₁ = 79 kWpf₁ = 0,8

ΔP = kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 22 µF

I = A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 100 µF

I = A

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока (k = 0,75 V·s/rad, R_a = 0,2 Ω) работает от 48 V. При полной нагрузке он потребляет 25 A. Пренебрегая током холостого хода, найдите его регулирование скорости SR = (n₀ − n_FL)/n_FL в процентах.

V = 48 Vk = 0,75 V·s/radR_a = 0,2 ΩI_FL = 25 A

SR = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Прерыватель постоянного тока питает двигатель (k = 0,3 V·s/rad, R_a = 0,8 Ω) от шины постоянного тока 24 V. Среднее напряжение якоря равно D·24 V. Найдите коэффициент заполнения D, при котором двигатель вращается со скоростью 500 rpm при нагрузке 0,6 N·m.

V_dc = 24 Vk = 0,3 V·s/radR_a = 0,8 ΩT = 0,6 N·mn = 500 rpm

D = %

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 25,67 kW

Полная мощность

S = √3·V_L·I_L = √3·208·75 = 27,02 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 27,02·0,95 = 25,67 kW

Ответ

P = 25,67 kW

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 456,1 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,7) = 200·1,02 = 204 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,92) = 200·0,426 = 85,2 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 118,8 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 39614/(377·480²) = 456,1 µF

Ответ

C_ph = 456,1 µF

3.Трансформаторы

Ответ: R_1′ = 144 Ω

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Приведённое сопротивление

Напряжение растёт в a раз, а ток уменьшается в a раз, поэтому отношение V/I растёт в a² раз.

R_1′ = a²·R_L = 3²·16 = 144 Ω

Ответ

R_1′ = 144 Ω

4.Трансформаторы

Ответ: S_η,max = 86,6 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·2250 = 750 → x = √(750/2250) = 0,5774

Нагрузка при максимальном КПД

S_η,max = x·S = 0,5774·150 = 86,6 kVA

Ответ

S_η,max = 86,6 kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: S = 2304 VA

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω

I = V/|Z| = 240/25 = 9,6 A

Полная мощность

S = V·I = 240·9,6 = 2304 VA

Ответ

S = 2304 VA

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: ΔP = 58,8 kW

Реактивная мощность существующей нагрузки

Q₁ = 79·tan(arccos 0,8) = 59,25 kvar

Наибольшая суммарная активная мощность

При полной нагрузке S = S_max, а Q от активной нагрузки не меняется.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(150² − 59,25²) = 137,8 kW

Дополнительная активная мощность

ΔP = 137,8 − 79 = 58,8 kW

Ответ

ΔP = 58,8 kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,1447 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−66,15)²) = 82,92 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 12/82,92 = 0,1447 A

Ответ

I = 0,1447 A

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,3357 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,02 = 6,283 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−25,55)²) = 35,74 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 12/35,74 = 0,3357 A

Ответ

I = 0,3357 A

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: SR = 11,63 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость холостого хода и при полной нагрузке

n₀ = 60·48/(2π·0,75) = 611,2 rpm

n_FL = 60·(48 − 25·0,2)/(2π·0,75) = 547,5 rpm

Регулирование скорости

SR = (611,2 − 547,5)/547,5·100 = 11,63 %

Ответ

SR = 11,63 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: D = 72,12 %

Необходимое напряжение якоря

V_a = 0,3·52,36 + 2·0,8 = 17,31 V

Коэффициент заполнения

D = 17,31/24 = 72,12 %

Ответ

D = 72,12 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems