Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 18,5 kW. При этой нагрузке его КПД равен 94%, а коэффициент мощности 0,84 (отстающий). Линейное напряжение сети 480 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 18,5 kWη = 94%cos φ = 0,84V_L = 480 V

I_L = A

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 100 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,92V_L = 415 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 4:1 приложено 920 V. К вторичной обмотке подключён резистор 15 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 4:1V₁ = 920 VR_L = 15 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 250 kVA имеет потери в стали 750 W и потери в меди 1500 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 75% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,85 (отстающий). Найдите суммарные потери P_loss в ваттах при этой нагрузке.

S = 250 kVAP_core = 750 WP_cu,fl = 1500 Wx = 0,75pf = 0,85

P_loss = W

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 240 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 25 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) и нагреватель мощностью 20 kW (коэффициент мощности 1). Найдите общий ток I, потребляемый от сети.

V = 240 VP₁ = 25 kW, pf₁ = 0,75 отстающийP₂ = 20 kW, pf₂ = 1

I = A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазный трансформатор 150 kVA питает нагрузку 60 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?

S_max = 150 kVAP₁ = 60 kWpf₁ = 0,75

ΔP = kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с L = 100 mH должен резонировать на частоте 2000 Hz. Найдите необходимую ёмкость C.

f₀ = 2000 HzL = 100 mH

C = µF

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите резонансную частоту f₀ цепи.

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока отдаёт механическую мощность 15 kW при 2900 rpm. Найдите момент на валу T.

P = 15 kWn = 2900 rpm

T = N·m

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока (k = 1,2 V·s/rad, R_a = 0,2 Ω) при фиксированном питании 220 V приводит нагрузку 48 N·m. Найдите последовательное сопротивление R_s, замедляющее его до 300 rpm.

V = 220 Vk = 1,2 V·s/radR_a = 0,2 ΩT = 48 N·mn = 300 rpm

R_s = Ω

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 28,18 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 18,5/0,94 = 19,68 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 19681/(√3·480·0,84) = 28,18 A

Ответ

I_L = 28,18 A

2.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 45,59 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,75) = 100·0,8819 = 88,19 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,92) = 100·0,426 = 42,6 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 45,59 kvar

Ответ

Q_C = 45,59 kvar

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 3,833 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 920/4 = 230 V

I₂ = 230/15 = 15,33 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/4 = 3,833 A

Ответ

I₁ = 3,833 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 240 Ω, и 920/240 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: P_loss = 1594 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,5625·1500 = 843,8 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

P_loss = 750 + 843,8 = 1594 W

Ответ

P_loss = 1594 W

КПД при этой нагрузке η = 99,01%.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 208,8 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 25·tan(arccos 0,75) = 22,05 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Суммы

P = 25 + 20 = 45 kW

Q = 22,05 + 0 = 22,05 kvar

S = √(45² + 22,05²) = 50,11 kVA

Общий ток

I = S/V = 50111/240 = 208,8 A

Ответ

I = 208,8 A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: ΔP = 80,36 kW

Реактивная мощность существующей нагрузки

Q₁ = 60·tan(arccos 0,75) = 52,92 kvar

Наибольшая суммарная активная мощность

При полной нагрузке S = S_max, а Q от активной нагрузки не меняется.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(150² − 52,92²) = 140,4 kW

Дополнительная активная мощность

ΔP = 140,4 − 60 = 80,36 kW

Ответ

ΔP = 80,36 kW

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: C = 0,06333 µF

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(12566²·0,1) = 0,06333 µF

Ответ

C = 0,06333 µF

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: f₀ = 100,7 Hz

Резонанс

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC). Частота сети не важна.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,25·10·10⁻⁶)) = 100,7 Hz

Ответ

f₀ = 100,7 Hz

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: T = 49,39 N·m

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Скорость в rad/s

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

Крутящий момент

T = P/ω = 15000/303,7 = 49,39 N·m

Ответ

T = 49,39 N·m

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: R_s = 4,358 Ω

Ток и противо-ЭДС

I_a = 48/1,2 = 40 A

E = 1,2·31,42 = 37,7 V

Последовательное сопротивление

R_a + R_s = (220 − 37,7)/40 = 4,558 Ω

R_s = 4,358 Ω

Ответ

R_s = 4,358 Ω

Резистор рассеивает 6972 W; прерыватель регулирует скорость с гораздо меньшими потерями.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems