Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации
a = N1/N2 = V1/V2
Отношение токов
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номинальный ток
I = S/V
Приведённое сопротивление
Z1′ = a²·ZL
Потери в меди при неполной нагрузке
Pcu = x²·Pcu,fl
КПД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальный КПД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc

Метод

  1. Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
  2. Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
  3. Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
  4. Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M55 kW, η = 92%cos φ = 0,9

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 55 kW. При этой нагрузке его КПД равен 92%, а коэффициент мощности 0,9 (отстающий). Линейное напряжение сети 400 V. Найдите линейный ток IL.

Pout = 55 kWη = 92%cos φ = 0,9VL = 400 V
IL = A
2.Трёхфазная мощностьСложная
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 60 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 60 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,92VL = 480 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3.ТрансформаторыСредняя
4160 V480 VIHV​ = ?ILV​50 kVA

Однофазный трансформатор 50 kVA, 4160/480 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток IHV в обмотке высшего напряжения.

S = 50 kVAV1 = 4160 VV2 = 480 V
IHV = A
4.ТрансформаторыСложная
pf 0,95150 kVA, η = 98,2%

Однофазный трансформатор 150 kVA имеет потери в стали 600 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,95 (отстающий) его КПД равен 98,2%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке Pcu,fl в ваттах.

S = 150 kVAPcore = 600 Wpf = 0,95η = 98,2%
Pcu,fl = W
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
P = 24 kWQ = ?Sφ

Однофазный двигатель потребляет 24 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) от сети 230 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 24 kWpf = 0,6V = 230 V
Q = kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
P1​ = 42 kWQ1​S1​φ

Однофазный трансформатор 200 kVA питает нагрузку 42 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?

Smax = 200 kVAP1 = 42 kWpf1 = 0,7
ΔP = kW
7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Vf0​ = 200 HzRL = ?C = 2,2 µF

Последовательный RLC-контур с C = 2,2 µF должен резонировать на частоте 200 Hz. Найдите необходимую индуктивность L.

f0 = 200 HzC = 2,2 µF
L = mH
8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
50 V60 HzR = 15 ΩL = 250 mHC = 10 µF

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите резонансную частоту f0 цепи.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 250 mHC = 10 µF
f0 = Hz
9.Двигатели постоянного токаСредняя
T (N·m)n (rpm)Tst​ = ?n0​

Двигатель постоянного тока с k = 0,3 N·m/A и Ra = 0,25 Ω подключён к 110 V. Найдите его момент при заторможенном роторе Tstall, то есть момент при нулевой скорости.

V = 110 Vk = 0,3 N·m/ARa = 0,25 Ω
Tstall = N·m
10.Двигатели постоянного токаСложная
+−240 VRst​ = ?Ra​ = 1,5 Ω80 AM+−E = 0n = 0T

Двигатель постоянного тока на 240 V имеет сопротивление якоря 1,5 Ω. Найдите последовательное пусковое сопротивление Rst, ограничивающее пусковой ток до 80 A.

V = 240 VRa = 1,5 ΩImax = 80 A
Rst = Ω

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: IL = 95,88 A

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Потребляемая электрическая мощность

Pin = Pout/η = 55/0,92 = 59,78 kW

Ток линии

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 59783/(√3·400·0,9) = 95,88 A

Ответ

IL = 95,88 A
2.Трёхфазная мощность

Ответ: QC = 22,58 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q1 = 60·tan(acos 0,78) = 60·0,8023 = 48,14 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,92) = 60·0,426 = 25,56 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

QC = Q1 − Q2 = 22,58 kvar

Ответ

QC = 22,58 kvar
3.Трансформаторы

Ответ: IHV = 12,02 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

IHV = S/V = 50000/4160 = 12,02 A

Ответ

IHV = 12,02 A
4.Трансформаторы

Ответ: Pcu,fl = 2012 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

Pout = 150·0,95 = 142,5 kW
Pin = 142500/0,982 = 145112 W

Суммарные потери и потери в меди

Ploss = 145112 − 142500 = 2612 W
Pcu,fl = 2612 − 600 = 2012 W

Ответ

Pcu,fl = 2012 W
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 32 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,6) = 53,13°, tan φ = 1,333

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 24·1,333 = 32 kvar

Ответ

Q = 32 kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: ΔP = 153,4 kW

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность существующей нагрузки

Q1 = 42·tan(arccos 0,7) = 42,85 kvar

Наибольшая суммарная активная мощность

При полной нагрузке S = Smax, а Q от активной нагрузки не меняется.

P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 42,85²) = 195,4 kW

Дополнительная активная мощность

ΔP = 195,4 − 42 = 153,4 kW

Ответ

ΔP = 153,4 kW
7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: L = 287,8 mH

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(1257²·2,2·10⁻⁶) = 287,8 mH

Ответ

L = 287,8 mH
8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: f0 = 100,7 Hz

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Резонанс

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC). Частота сети не важна.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,25·10·10⁻⁶)) = 100,7 Hz

Ответ

f0 = 100,7 Hz
9.Двигатели постоянного тока

Ответ: Tstall = 132 N·m

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.

Ток при заторможенном роторе

Ia = V/Ra = 110/0,25 = 440 A

Момент при заторможенном роторе

Tstall = 0,3·440 = 132 N·m

Ответ

Tstall = 132 N·m
10.Двигатели постоянного тока

Ответ: Rst = 1,5 Ω

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.

Полное сопротивление

Ra + Rst = 240/80 = 3 Ω

Пусковой резистор

Rst = 3 − 1,5 = 1,5 Ω

Ответ

Rst = 1,5 Ω

Резистор выводят ступенями по мере разгона двигателя и роста противо-ЭДС.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems