Электроэнергетика и электрические машины: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Отношение токов: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номинальный ток: I = S/V
Приведённое сопротивление: Z₁′ = a²·Z_L
Потери в меди при неполной нагрузке: P_cu = x²·P_cu,fl
КПД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальный КПД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Двигатели постоянного тока

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Метод

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

2Тренировочные задачи

1.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 50 A от сети с линейным напряжением 690 V. Коэффициент мощности 0,8 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 690 VI_L = 50 Acos φ = 0,8

P = kW

2.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 75 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 75 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,92V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаторыСредняя

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 10:1 приложено 2400 V. К вторичной обмотке подключён резистор 20 Ω. Найдите первичный ток I₁.

N₁:N₂ = 10:1V₁ = 2400 VR_L = 20 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаторыСложная

Однофазный трансформатор 25 kVA имеет потери в стали 100 W и потери в меди 300 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке S_η,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 25 kVAP_core = 100 WP_cu,fl = 300 W

S_η,max = kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 16 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 16 kWpf = 0,75V = 400 V

Q = kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 2 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) от сети 230 V, 60 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 100 µF. Найдите новый ток линии I.

P = 2 kWpf₁ = 0,6V = 230 Vf = 60 HzC = 100 µF

I = A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 10 µF

cos φ =

8.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 10 µF

I = A

9.Двигатели постоянного токаСредняя

Двигатель постоянного тока потребляет 40 A от источника 220 V. Сопротивление якоря равно 0,2 Ω, а потери на вращение (трение, сопротивление воздуха и потери в железе) составляют 254 W. Найдите его КПД η.

V = 220 VI_a = 40 AR_a = 0,2 ΩP_rot = 254 W

η = %

10.Двигатели постоянного токаСложная

Двигатель постоянного тока с k = 1 V·s/rad и R_a = 2 Ω должен приводить нагрузку 4 N·m со скоростью 750 rpm. Найдите необходимое напряжение якоря V.

k = 1 V·s/radR_a = 2 ΩT = 4 N·mn = 750 rpm

V = V

3Растворы

1.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 47,8 kW

Полная мощность

S = √3·V_L·I_L = √3·690·50 = 59,76 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 59,76·0,8 = 47,8 kW

Ответ

P = 47,8 kW

2.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 99,32 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0,7) = 75·1,02 = 76,52 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0,92) = 75·0,426 = 31,95 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 44,57 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 690 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 14855/(314,2·690²) = 99,32 µF

Ответ

C_ph = 99,32 µF

3.Трансформаторы

Ответ: I₁ = 1,2 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V₂ = 2400/10 = 240 V

I₂ = 240/20 = 12 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/10 = 1,2 A

Ответ

I₁ = 1,2 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·R_L = 2000 Ω, и 2400/2000 даёт тот же ток.

4.Трансформаторы

Ответ: S_η,max = 14,43 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·P_cu,fl. КПД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), где P_out = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·300 = 100 → x = √(100/300) = 0,5774

Нагрузка при максимальном КПД

S_η,max = x·S = 0,5774·25 = 14,43 kVA

Ответ

S_η,max = 14,43 kVA

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 14,11 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,75) = 41,41°, tan φ = 0,8819

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 16·0,8819 = 14,11 kvar

Ответ

Q = 14,11 kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 9,174 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = 2·tan(arccos 0,6) = 2,667 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·60·100·10⁻⁶ = 1994 var = 1,994 kvar

Q₂ = 2,667 − 1,994 = 0,6724 kvar

Новая полная мощность

S₂ = √(2² + 0,6724²) = 2,11 kVA

Новый ток линии

I = S₂/V = 2110/230 = 9,174 A

Ответ

I = 9,174 A

7.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,1131

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 471,2 Ω, X_C = 31,83 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(50² + (439,4)²) = 442,2 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 50/442,2 = 0,1131

Цепь индуктивная, поэтому коэффициент мощности отстающий.

Ответ

cos φ = 0,1131

8.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,7927 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (125,2)²) = 126,1 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 100/126,1 = 0,7927 A

Ответ

I = 0,7927 A

9.Двигатели постоянного тока

Ответ: η = 93,48 %

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Мощности

P_in = 220·40 = 8800 W

P_dev = 212·40 = 8480 W

P_out = 8480 − 254 = 8226 W

КПД

η = 8226/8800·100 = 93,48 %

Ответ

η = 93,48 %

10.Двигатели постоянного тока

Ответ: V = 86,54 V

Противо-ЭДС

E = 1·78,54 = 78,54 V

Ток якоря

I_a = 4/1 = 4 A

Напряжение якоря

V = 78,54 + 4·2 = 86,54 V

Ответ

V = 86,54 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems