Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите угол θ между векторами a = (−1, −5, 6) и b = (3, −4, −2) в градусах.

a = (−1, −5, 6)b = (3, −4, −2)

θ = °

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите объём V параллелепипеда, рёбра которого из одной вершины равны a = (−4, 4, 2), b = (0, −3, 2) и c = (−1, 2, −2).

a = (−4, 4, 2)b = (0, −3, 2)c = (−1, 2, −2)

V =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 8 mP₁ = 55 kN в 1 mP₂ = 50 kN в 2 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 8 mP = 50 kN в 2 mw = 10 kN/m от 4 до 8 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 3 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 15 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

пролёт = 6 mвысота = 4 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 25 kNгоризонтальная нагрузка = 20 kN ←

F_AB = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 5 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 3,6 m, а горизонтальная затяжка DE находится на 0,8 m над землёй. В точке C действует нагрузка 5 kN. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 5 kNAB = 5 mвысота C = 3,6 mвысота DE = 0,8 m

C = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Балка AB показанного настенного кронштейна закреплена шарниром в A и подпёрта стойкой CD (C находится на 0,5 m ниже A). Балка несёт равномерную нагрузку 2 kN/m по всей длине и сосредоточенную нагрузку 6 kN на свободном конце B. Найдите силу F_CD в стойке.

w = 2 kN/mP = 6 kNAD = 0,5 mAB = 1,5 mAC = 0,5 m

F_CD = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1 m за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P₁ между опорами и сосредоточенной силой P₂ в C. Найдите изгибающий момент M_x под силой P₁. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP₁ = 55 kN в 1,5 mP₂ = 15 kN в 6 mопоры при x = 0 и x = 5 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите изгибающий момент M_B на опоре B. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mw = 6 kN/m от 0 до 8 mопоры при x = 0 и x = 6 m

M_B = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 150 mm и толщиной 16 mm, полную высоту 200 mm и стенку толщиной 12 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 150 mmH = 200 mmt_f = 16 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 40 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mmM = 40 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: θ = 83,23 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−1)·3 + (−5)·(−4) + 6·(−2) = 5

Модули

|a| = √((−1)² + (−5)² + 6²) = 7,874

|b| = √(3² + (−4)² + (−2)²) = 5,385

Угол

cos θ = 5/(7,874·5,385) = 0,1179

θ = arccos(0,1179) = 83,23°

Ответ

θ = 83,23°

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: V = 22

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−3)·(−2) − 2·2 = 2

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 2·(−1) − 0·(−2) = −2

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 0·2 − (−3)·(−1) = −3

Скалярное произведение с a

a·(b × c) = (−4)·2 + 4·(−2) + 2·(−3) = −22

V = |−22| = 22

Ответ

V = 22

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 85,63 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·1 + 50·2

R_B = 155/8 = 19,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 19,38 = 85,63 kN

Ответ

R_A = 85,63 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 42,5 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, приложена в x̄ = 6 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·2 + 10·4·6

R_B = 340/8 = 42,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 42,5 = 47,5 kN

Ответ

R_B = 42,5 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −10,82 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·2 → C_y = 6 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 6 = 9 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −9/0,8321 = −10,82 kN

Ответ

F_AB = −10,82 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −33,54 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·2 − 20·4 → C_y = −5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − −5 = 30 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −30/0,8944 = −33,54 kN

Ответ

F_AB = −33,54 kN (сжатие)

7.Рамы и механизмы

Ответ: C = 3,351 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в затяжке из ножки BC

B_y = 2,5 kN

T = 2,5·2,5/2,8 = 2,232 kN

Составляющие силы в шарнире на BC

C_x = T = 2,232 kN, C_y = −B_y = −2,5 kN

Модуль

C = √(2,232² + 2,5²) = 3,351 kN

Ответ

C = 3,351 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: F_CD = 31,82 kN

Равнодействующая равномерной нагрузки

w·L = 2·1,5 = 3 kN в 0,75 m

Моменты относительно A для балки

F_CD·0,7071·0,5 = 3·0,75 + 6·1,5 = 11,25 kN·m

F_CD = 31,82 kN

Ответ

F_CD = 31,82 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 53,25 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки. Сила на консольном свесе тоже создаёт момент относительно A.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1,5 + 15·6

R_B = 172,5/5 = 34,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 34,5 = 35,5 kN

Сечение под P₁, оставляем левую часть

M_x = R_A·1,5 = 35,5·1,5 = 53,25 kN·m

Ответ

M_x = 53,25 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_B = −12 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·8·4

R_B = 192/6 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 32 = 16 kN

Сечение в B, оставляем консольный свес

Нагрузка на свесе, w·a, приложена на расстоянии a/2 от B и создаёт над опорой отрицательный момент (растянуты верхние волокна).

M_B = −w·a²/2 = −6·2²/2 = −12 kN·m

Ответ

M_B = −12 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 45,47 × 10⁶ mm⁴

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 200 − 2·16 = 168 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·200³ − 138·168³)/12

I_x = 4,547 × 10⁷ mm⁴ = 45,47 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 45,47 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 247,7 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

стенка: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·227,5 + 2640·110)/4440 = 157,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 120·15³/12 + 1800·(227,5 − 157,6)² = 8,82 × 10⁶ mm⁴

стенка: 12·220³/12 + 2640·(110 − 157,6)² = 1,664 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,82 × 10⁶ + 1,664 × 10⁷ = 2,546 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 157,6 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·157,6/2,546 × 10⁷ = 247,7 MPa

Ответ

σ_низ = 247,7 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics

Статика: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Метод

Опорные реакции балок

Метод

Ферма: метод вырезания узлов

Метод

Рамы и механизмы

Метод

Поперечная сила и изгибающий момент

Метод

Центр тяжести и момент инерции

2Тренировочные задачи

3Растворы

Скалярное произведение

Модули

Угол

Ответ

Векторное произведение b × c

Скалярное произведение с a

Ответ

Расчётная схема

Равновесие

Ответ

Расчётная схема

Равновесие

Ответ

Опорные реакции

Узел A

Ответ

Опорные реакции

Узел A

Ответ

Сила в затяжке из ножки BC

Составляющие силы в шарнире на BC

Модуль

Ответ

Равнодействующая равномерной нагрузки

Моменты относительно A для балки

Ответ

Опорные реакции

Сечение под P1, оставляем левую часть

Ответ

Опорные реакции

Сечение в B, оставляем консольный свес

Ответ

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Ответ

Разбейте на два прямоугольника

Центр тяжести

Теорема о параллельном переносе осей

Напряжение изгиба

Ответ

Сечение под P₁, оставляем левую часть