Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите угол θ между векторами a = (−3, 2, 0) и b = (−2, −4, −5) в градусах.

a = (−3, 2, 0)b = (−2, −4, −5)

θ = °

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Для a = (1, 5, 4) и b = (4, 2, −3) найдите z-компоненту (a × b)_z векторного произведения a × b.

a = (1, 5, 4)b = (4, 2, −3)

(a × b)_z =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 1 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным по часовой стрелке, на расстоянии 2 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

L = 4 mP = 75 kN в 1 mM = 50 kN·m (по часовой стрелке) в 2 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 4 mP = 60 kN в 3 mw = 4 kN/m от 0 до 1 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 25 kN ↓G: 20 kN ↓H: 15 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

B: 20 kN ↓G: 20 kN ↓H: 25 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 5 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 3,6 m, а горизонтальная затяжка DE — на 0,8 m над землёй. Вертикальная нагрузка 15 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 1 m (по горизонтали) от A. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 15 kNAB = 5 mвысота C = 3,6 mвысота DE = 0,8 mгоризонтальное расстояние от A до K = 1 m

T = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Коленно-рычажный пресс имеет два равных звена AB и BC длиной 80 mm между шарнирами каждое. Шарнир B находится на 30 mm выше прямой AC. Какая направленная вниз сила F в точке B создаёт горизонтальную силу прессования 1000 N на ползуне C? Трением и весом пренебрегите.

Q = 1000 NAB = BC = 80 mmh = 30 mm

F = N

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

55 kN @ 8 m4 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 8 mw = 8 kN/m от 0 до 5 m

M_max = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 15 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 100 mmM = 15 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: θ = 94,74 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−3)·(−2) + 2·(−4) + 0·(−5) = −2

Модули

|a| = √((−3)² + 2² + 0²) = 3,606

|b| = √((−2)² + (−4)² + (−5)²) = 6,708

Угол

cos θ = −2/(3,606·6,708) = −0,08269

θ = arccos(−0,08269) = 94,74°

Ответ

θ = 94,74°

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: (a × b)_z = −18

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение по компонентам

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·(−3) − 4·2 = −23

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·4 − 1·(−3) = 19

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·2 − 5·4 = −18

Искомая компонента

(a × b)_z = −18

Ответ

(a × b)_z = −18

Проверка: a × b перпендикулярно обоим векторам, поэтому его скалярные произведения с a и с b равны нулю.

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 43,75 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 75·1 − 50 = 0

R_B = 125/4 = 31,25 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 75 − 31,25 = 43,75 kN

Ответ

R_A = 43,75 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 45,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN, приложена в x̄ = 0,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·3 + 4·1·0,5

R_B = 182/4 = 45,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 45,5 = 18,5 kN

Ответ

R_B = 45,5 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 32,5 kN (T), BC: 40 kN (T), CD: 40 kN (T), DE: 27,5 kN (T), FG: 32,5 kN (C), GH: 27,5 kN (C), AF: 45,96 kN (C), HE: 38,89 kN (C), BF: 32,5 kN (T), CG: 0, DH: 12,5 kN (T), BG: 10,61 kN (C), DG: 17,68 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент DH

Узел D

CD и DE лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 14,58 kN (T), BC: 14,58 kN (T), CD: 13,75 kN (T), DE: 13,75 kN (T), FG: 52,5 kN (C), GH: 52,5 kN (C), AF: 49,48 kN (C), HE: 17,19 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 16,15 kN (T), HC: 17,19 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: DH

7.Рамы и механизмы

Ответ: T = 2,679 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Вся рама: моменты относительно A

B_y = 15·1/5 = 3 kN

Ножка BC: моменты относительно C

3·2,5 = T·2,8

T = 2,679 kN

Ответ

T = 2,679 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: F = 809 N

Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а F_in·a = F_out·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).

Угол звена

sin θ = 30/80 = 0,375, θ = 22,02°

Сила в звене

F_link = Q/cos θ = 1079 N

Сила в B

F = 2·F_link·sin θ = 2·1000·tan θ = 809 N

Ответ

F = 809 N

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 42,33 kN, R₂ = 60,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 76,67, M_C = 137,3, M_D = 182, M_E = 210,7 kN·m, M_F = 113,3, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 210,7 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 47,27 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·5·2,5

R_B = 100/8 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 12,5 = 27,5 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с R_A, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 27,5/8 = 3,438 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 27,5·3,438 − 8·3,438²/2 = 47,27 kN·m

Ответ

M_max = 47,27 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 28,55 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

стенка: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·192,5 + 3600·90)/7100 = 140,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·25³/12 + 3500·(192,5 − 140,5)² = 9,636 × 10⁶ mm⁴

стенка: 20·180³/12 + 3600·(90 − 140,5)² = 1,891 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,636 × 10⁶ + 1,891 × 10⁷ = 2,855 × 10⁷ mm⁴ = 28,55 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 28,55 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 312,6 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

стенка: A_w = 10·100 = 1000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·115 + 1000·50)/8800 = 107,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 260·30³/12 + 7800·(115 − 107,6)² = 1,011 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·100³/12 + 1000·(50 − 107,6)² = 4,153 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,011 × 10⁶ + 4,153 × 10⁶ = 5,163 × 10⁶ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 107,6 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·107,6/5,163 × 10⁶ = 312,6 MPa

Ответ

σ_низ = 312,6 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics