Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (4, −2, 3) на b = (6, −6, −3), то есть компоненту a в направлении b.

a = (4, −2, 3)b = (6, −6, −3)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите объём V параллелепипеда, рёбра которого из одной вершины равны a = (−4, −5, −3), b = (3, −3, 3) и c = (1, −2, 3).

a = (−4, −5, −3)b = (3, −3, 3)c = (1, −2, 3)

V =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, возрастающей от нуля в A до 8 kN/m в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 4 mw₀ = 8 kN/m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 8 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 7 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 4 m до свободного конца в точке 10 m. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

AB = 8 mAC = 10 mP = 60 kN в 7 mw = 6 kN/m от 4 до 10 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 15 kN ↓F: 40 kN ↓H: 20 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 2 mB на расстоянии 6 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kNгоризонтальная нагрузка = 20 kN →

F_AB = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 0,75 m ниже A. В точке B подвешена нагрузка 10 kN. Весом пренебрегите. Найдите модуль силы A в шарнире, действующей на балку в A.

P = 10 kNAD = 0,8 mAB = 2,4 mAC = 0,75 m

A = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Балка AB показанного настенного кронштейна закреплена шарниром в A и подпёрта стойкой CD (C находится на 1,5 m ниже A). Балка несёт равномерную нагрузку 4 kN/m по всей длине и сосредоточенную нагрузку 15 kN на свободном конце B. Найдите силу F_CD в стойке.

w = 4 kN/mP = 15 kNAD = 2 mAB = 4 mAC = 1,5 m

F_CD = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 4 mP₁ = 20 kN в 1 mP₂ = 75 kN в 2 m

M_max = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 8 mP = 20 kN в 5 mw = 2 kN/m от 0 до 8 m

M_max = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 160 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 35 MPa при растяжении и 100 MPa при сжатии. Найдите наибольший отрицательный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка (укажите его величину).

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = 3

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = 4·6 + (−2)·(−6) + 3·(−3) = 27

Длина b

|b| = √(6² + (−6)² + (−3)²) = 9

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = 27/9 = 3

Ответ

comp_b a = 3

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: V = 51

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−3)·3 − 3·(−2) = −3

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 3·1 − 3·3 = −6

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 3·(−2) − (−3)·1 = −3

Скалярное произведение с a

a·(b × c) = (−4)·(−3) + (−5)·(−6) + (−3)·(−3) = 51

V = |51| = 51

Ответ

V = 51

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 5,333 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·8·4 = 16 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 16·2,667

R_B = 10,67 kN

R_A = 16 − 10,67 = 5,333 kN

Ответ

R_A = 5,333 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 12 kN

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 6·6 = 36 kN, x̄ = (4 + 10)/2 = 7 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·7 + 36·7

R_B = 672/8 = 84 kN

R_A = 96 − 84 = 12 kN

Ответ

R_A = 12 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 38,75 kN (T), BC: 37,5 kN (T), CD: 37,5 kN (T), DE: 36,25 kN (T), FG: 38,75 kN (C), GH: 36,25 kN (C), AF: 54,8 kN (C), HE: 51,27 kN (C), BF: 1,25 kN (C), CG: 0, DH: 16,25 kN (T), BG: 1,768 kN (T), DG: 1,768 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −19,76 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·6 + 20·2 → C_y = 38,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 38,75 = 6,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/6,325 = 0,3162

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −6,25/0,3162 = −19,76 kN

Ответ

F_AB = −19,76 kN (сжатие)

7.Рамы и механизмы

Ответ: A = 37,74 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в стойке

F_CD = 10·2,4/(0,6839·0,8) = 43,86 kN

Составляющие в A

A_x = F_CD·cos α = 32 kN (к стене)

A_y = 10 − F_CD·sin α = −20 kN

Модуль

A = √(32² + −20²) = 37,74 kN

Ответ

A = 37,74 kN

Отрицательное A_y означает, что стена тянет балку вниз в точке A.

8.Рамы и механизмы

Ответ: F_CD = 76,67 kN

Равнодействующая равномерной нагрузки

w·L = 4·4 = 16 kN в 2 m

Моменты относительно A для балки

F_CD·0,6·2 = 16·2 + 15·4 = 92 kN·m

F_CD = 76,67 kN

Ответ

F_CD = 76,67 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 85 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·1 + 75·2

R_B = 170/4 = 42,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 42,5 = 52,5 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·1 = 52,5·1 = 52,5 kN·m

под P₂: M = R_B·2 = 42,5·2 = 85 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 85 kN·m (под P₂)

Ответ

M_max = 85 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 52,5 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·5 + 2·8·4

R_B = 164/8 = 20,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 20,5 = 15,5 kN

Где V = 0?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 5,5 kN

V(5⁺) = 5,5 − 20 = −14,5 kN

Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 15,5·5 − 2·5²/2 = 52,5 kN·m

Ответ

M_max = 52,5 kN·m

Он достигается при x = 5 m от A.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 53,38 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 160·25 = 4000 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

стенка: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·272,5 + 3120·130)/7120 = 210,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 160·25³/12 + 4000·(272,5 − 210,1)² = 1,581 × 10⁷ mm⁴

стенка: 12·260³/12 + 3120·(130 − 210,1)² = 3,757 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,581 × 10⁷ + 3,757 × 10⁷ = 5,338 × 10⁷ mm⁴ = 53,38 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 53,38 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 3,653 kN·m

Центр тяжести

ȳ = (4200·115 + 800·50)/5000 = 104,6 mm

верхняя кромка: c = 130 − 104,6 = 25,4 mm

Момент инерции сечения

I = 140·30³/12 + 4200·10,4² + 8·100³/12 + 800·54,6² = 3,821 × 10⁶ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Отрицательный момент: верх растянут, низ сжат.

верхняя кромка: M = 35·3,821 × 10⁶/25,4 = 5,265 kN·m

нижняя кромка: M = 100·3,821 × 10⁶/104,6 = 3,653 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 3,653 kN·m (нижняя кромка)

Ответ

M_allow = 3,653 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics