Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (−1, −3, 4) на b = (4, −6, −1), то есть компоненту a в направлении b.

a = (−1, −3, 4)b = (4, −6, −1)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (−50, 0, 10) N действует в точке A(−2, −4, −3). Координаты даны в метрах. Найдите модуль |M| момента силы относительно точка O(−3, −3, −3).

F = (−50, 0, 10) NA(−2, −4, −3) mO(−3, −3, −3) m

|M| = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 3,5 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 6 mP = 30 kN в 3,5 mw = 4 kN/m от 0 до 6 m

M_A = kN·m

4.Опорные реакции балокСложная

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, равной нулю у стены и возрастающей до 12 kN/m на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 4,5 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 6 mw₀ = 12 kN/mP = 15 kN в 4,5 m

M_A = kN·m

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 3 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 55 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 25 kN ↓G: 20 kN ↓H: 25 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

7.Рамы и механизмыСредняя

Угловой рычаг на рисунке поворачивается вокруг шарнира O. Вертикальная сила 250 N в точке A (240 mm от O) уравновешивается горизонтальной силой в точке B (100 mm выше O). Найдите модуль реакции F_O в шарнире.

F = 250 NOA = 240 mmOB = 100 mm

F_O = N

8.Рамы и механизмыСложная

Балка AB показанного настенного кронштейна закреплена шарниром в A и подпёрта стойкой CD (C находится на 1,2 m ниже A). Балка несёт равномерную нагрузку 3 kN/m по всей длине и сосредоточенную нагрузку 10 kN на свободном конце B. Найдите силу F_CD в стойке.

w = 3 kN/mP = 10 kNAD = 1,5 mAB = 3,6 mAC = 1,2 m

F_CD = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 5 m от A. Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3 m от заделки A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 20 kN в 5 mw = 10 kN/m от 0 до 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

25 kN @ 0 m25 kN @ 6 m12 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 150 mm и толщиной 20 mm, полную высоту 500 mm и стенку толщиной 14 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 150 mmH = 500 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 40 MPa при растяжении и 90 MPa при сжатии. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = 1,374

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−1)·4 + (−3)·(−6) + 4·(−1) = 10

Длина b

|b| = √(4² + (−6)² + (−1)²) = 7,28

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = 10/7,28 = 1,374

Ответ

comp_b a = 1,374

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: |M| = 51,96 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (−2, −4, −3) − (−3, −3, −3) = (1, −1, 0) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−1)·10 − 0·0 = −10 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 0·(−50) − 1·10 = −10 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 1·0 − (−1)·(−50) = −50 N·m

Модуль

|M| = √((−10)² + (−10)² + (−50)²) = 51,96 N·m

Ответ

|M| = 51,96 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 177 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 4·6 = 24 kN, x̄ = 3 m

Момент относительно стены

M_A = P·a + W·x̄ = 30·3,5 + 24·3 = 177 kN·m

Ответ

M_A = 177 kN·m

4.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 211,5 kN·m

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·12·6 = 36 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Момент относительно стены

M_A = W·x̄ + P·a = 36·4 + 15·4,5 = 211,5 kN·m

Ответ

M_A = 211,5 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −49,58 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·2 → C_y = 13,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 13,75 = 41,25 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −41,25/0,8321 = −49,58 kN

Ответ

F_AB = −49,58 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент DH

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел D

CD и DE лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 10 kN (T), BC: 10 kN (T), CD: 10 kN (T), DE: 10 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 49,5 kN (C), HE: 14,14 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 14,14 kN (T), HC: 14,14 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: DH

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_O = 650 N

Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а F_in·a = F_out·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).

Сила в B

Q = 250·240/100 = 600 N

Реакция в шарнире

O_x = 600 N, O_y = 250 N

F_O = √(600² + 250²) = 650 N

Ответ

F_O = 650 N

8.Рамы и механизмы

Ответ: F_CD = 59,16 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Равнодействующая равномерной нагрузки

w·L = 3·3,6 = 10,8 kN в 1,8 m

Моменты относительно A для балки

F_CD·0,6247·1,5 = 10,8·1,8 + 10·3,6 = 55,44 kN·m

F_CD = 59,16 kN

Ответ

F_CD = 59,16 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −60 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −20·2 = −40 kN·m

w: −10·2²/2 = −20 kN·m

M_x = −40 − 20 = −60 kN·m

Ответ

M_x = −60 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 34,67 kN, R₂ = 51,33 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −25, M_C = −21,33, M_D = −29,67, M_E = −50 kN·m, M_F = −25, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −50 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 459,4 × 10⁶ mm⁴

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 500 − 2·20 = 460 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·500³ − 136·460³)/12

I_x = 4,594 × 10⁸ mm⁴ = 459,4 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 459,4 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 7,665 kN·m

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Центр тяжести

ȳ = (4800·215 + 2800·100)/7600 = 172,6 mm

верхняя кромка: c = 230 − 172,6 = 57,37 mm

Момент инерции сечения

I = 160·30³/12 + 4800·42,37² + 14·200³/12 + 2800·72,63² = 3,308 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Положительный момент: верх сжат, низ растянут.

верхняя кромка: M = 90·3,308 × 10⁷/57,37 = 51,9 kN·m

нижняя кромка: M = 40·3,308 × 10⁷/172,6 = 7,665 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 7,665 kN·m (нижняя кромка)

Ответ

M_allow = 7,665 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics