Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите угол θ между векторами a = (−4, −2, 2) и b = (3, 4, 3) в градусах.

a = (−4, −2, 2)b = (3, 4, 3)

θ = °

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Единичный вектор n̂ перпендикулярен обоим векторам a = (−4, −3, −4) и b = (3, 0, 2) и имеет положительную z-компоненту. Найдите его y-компоненту n̂_y.

a = (−4, −3, −4)b = (3, 0, 2)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 5 mP₁ = 35 kN в 1 mP₂ = 25 kN в 2,5 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 3,5 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 6 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 5 m от A. Найдите реакцию R_D подвижной опоры.

AC = 3,5 mAD = 6 mP = 45 kN в 5 m

R_D = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 20 kN ↓G: 35 kN ↓H: 35 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 4 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 15 kNгоризонтальная нагрузка = 20 kN ←

F_BC = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 4 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 2,5 m, а горизонтальная затяжка DE — на 0,6 m над землёй. Вертикальная нагрузка 8 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 1,2 m (по горизонтали) от A. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 8 kNAB = 4 mвысота C = 2,5 mвысота DE = 0,6 mгоризонтальное расстояние от A до K = 1,2 m

T = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 3 m друг от друга, а B находится на высоте 2,5 m и на 1,35 m правее A. Элемент AB несёт вертикальную нагрузку 10 kN в точке K на расстоянии 1,012 m (по горизонтали) от A и горизонтальную нагрузку 3 kN, направленную вправо, в точке B. Найдите величину горизонтальной реакции A_x в A.

P = 10 kNQ = 3 kNL = 3 mH = 2,5 mгоризонтальное расстояние от A до B = 1,35 mгоризонтальное расстояние от A до K = 1,012 m

A_x = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 8 mP₁ = 80 kN в 1 mP₂ = 80 kN в 2 m

M_max = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 5 mP = 45 kN в 1 mw = 5 kN/m от 0 до 5 m

M_max = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 60 MPa при растяжении и 90 MPa при сжатии. Найдите наибольший отрицательный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка (укажите его величину).

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: θ = 119,3 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−4)·3 + (−2)·4 + 2·3 = −14

Модули

|a| = √((−4)² + (−2)² + 2²) = 4,899

|b| = √(3² + 4² + 3²) = 5,831

Угол

cos θ = −14/(4,899·5,831) = −0,4901

θ = arccos(−0,4901) = 119,3°

Ответ

θ = 119,3°

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: n̂_y = −0,3468

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−3)·2 − (−4)·0 = −6

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·3 − (−4)·2 = −4

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·0 − (−3)·3 = 9

Нормирование

z-компонента a × b уже положительна.

|a × b| = √((−6)² + (−4)² + 9²) = 11,53

n̂ = (−6, −4, 9)/11,53 = (−0,5203, −0,3468, 0,7804)

n̂_y = −0,3468

Ответ

n̂_y = −0,3468

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 19,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·1 + 25·2,5

R_B = 97,5/5 = 19,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 19,5 = 40,5 kN

Ответ

R_B = 19,5 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_D = 27 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.

Часть CD

В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.

ΣM_C = 0: R_D·2,5 = 45·1,5

R_D = 27 kN

V_C = 45 − 27 = 18 kN

Ответ

R_D = 27 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 41,25 kN (T), BC: 62,5 kN (T), CD: 62,5 kN (T), DE: 48,75 kN (T), FG: 41,25 kN (C), GH: 48,75 kN (C), AF: 58,34 kN (C), HE: 68,94 kN (C), BF: 41,25 kN (T), CG: 0, DH: 13,75 kN (T), BG: 30,05 kN (C), DG: 19,45 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = 11,79 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·2 − 20·4 → C_y = −8,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − −8,333 = 23,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−8,333/0,7071 = 11,79 kN

Ответ

F_BC = 11,79 kN (растяжение)

7.Рамы и механизмы

Ответ: T = 2,526 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Вся рама: моменты относительно A

B_y = 8·1,2/4 = 2,4 kN

Ножка BC: моменты относительно C

2,4·2 = T·1,9

T = 2,526 kN

Ответ

T = 2,526 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: A_x = 0,8775 kN

Направление BC

BC = 2,995 m, cos = 0,5508, sin = 0,8346

Вся рама: моменты относительно A

F_BC·0,8346·3 = 10·1,012 + 3·2,5

F_BC = 7,039 kN

Горизонтальный баланс

A_x + 3 − 7,039·0,5508 = 0

A_x = 0,8775 kN → |A_x| = 0,8775 kN

Ответ

A_x = 0,8775 kN

A_x направлена вправо.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 180 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 80·1 + 80·2

R_B = 240/8 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 160 − 30 = 130 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·1 = 130·1 = 130 kN·m

под P₂: M = R_B·6 = 30·6 = 180 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 180 kN·m (под P₂)

Ответ

M_max = 180 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 46 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·1 + 5·5·2,5

R_B = 107,5/5 = 21,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 21,5 = 48,5 kN

Где V = 0?

V(1⁻) = R_A − w·1 = 43,5 kN

V(1⁺) = 43,5 − 45 = −1,5 kN

Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

M_max = R_A·1 − w·1²/2 = 48,5·1 − 5·1²/2 = 46 kN·m

Ответ

M_max = 46 kN·m

Он достигается при x = 1 m от A.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 23,6 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

стенка: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·205 + 2800·100)/5200 = 148,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 240·10³/12 + 2400·(205 − 148,5)² = 7,692 × 10⁶ mm⁴

стенка: 14·200³/12 + 2800·(100 − 148,5)² = 1,591 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,692 × 10⁶ + 1,591 × 10⁷ = 2,36 × 10⁷ mm⁴ = 23,6 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 23,6 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 12,37 kN·m

Центр тяжести

ȳ = (7000·232,5 + 1760·110)/8760 = 207,9 mm

верхняя кромка: c = 245 − 207,9 = 37,11 mm

Момент инерции сечения

I = 280·25³/12 + 7000·24,61² + 8·220³/12 + 1760·97,89² = 2,857 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Отрицательный момент: верх растянут, низ сжат.

верхняя кромка: M = 60·2,857 × 10⁷/37,11 = 46,19 kN·m

нижняя кромка: M = 90·2,857 × 10⁷/207,9 = 12,37 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 12,37 kN·m (нижняя кромка)

Ответ

M_allow = 12,37 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics