Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярное произведение a·b векторов a = (−2, 4, 6) и b = (3, 0, −6).

a = (−2, 4, 6)b = (3, 0, −6)

a·b =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите площадь A треугольника с вершинами A(2, 1, −2), B(3, −1, 4) и C(−2, 1, −1). Координаты даны в метрах.

A(2, 1, −2)B(3, −1, 4)C(−2, 1, −1)

A = m²

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 4 mP₁ = 45 kN в 2 mP₂ = 60 kN в 3 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 6 m от A действует сила P, наклонённая под углом 50° к горизонтали, а на расстоянии 2 m от A — вертикальная сила Q. Найдите угол α между полной силой реакции в шарнире A и горизонталью.

L = 8 mP = 45 kN в 6 m, θ = 50°Q = 60 kN в 2 m

α = °

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 20 kN ↓G: 20 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 3 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 25 kNгоризонтальная нагрузка = 30 kN ←

F_AC = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 5 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 3 m, а горизонтальная затяжка DE находится на 0,8 m над землёй. В точке C действует нагрузка 5 kN. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 5 kNAB = 5 mвысота C = 3 mвысота DE = 0,8 m

C = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Коленно-рычажный пресс имеет два равных звена AB и BC длиной 80 mm между шарнирами каждое. Шарнир B находится на 20 mm выше прямой AC. Какая направленная вниз сила F в точке B создаёт горизонтальную силу прессования 3000 N на ползуне C? Трением и весом пренебрегите.

Q = 3000 NAB = BC = 80 mmh = 20 mm

F = N

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите поперечную силу V_x в сечении x = 3 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mw = 3 kN/m от 0 до 5 mx = 3 m

V_x = kN

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_max между опорами.

L = 9 mw = 5 kN/m от 0 до 9 mопоры при x = 0 и x = 8 m

M_max = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 50 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mmM = 50 kN·m

σ_верх = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: a·b = −42

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножьте соответствующие компоненты и сложите

a·b = (−2)·3 + 4·0 + 6·(−6) = (−6) + 0 + (−36) = −42

Ответ

a·b = −42

Отрицательное: угол между векторами больше 90°.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: A = 13,16 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторы сторон

AB = B − A = (1, −2, 6)

AC = C − A = (−4, 0, 1)

Векторное произведение

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−2)·1 − 6·0 = −2

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 6·(−4) − 1·1 = −25

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 1·0 − (−2)·(−4) = −8

|AB × AC| = √((−2)² + (−25)² + (−8)²) = 26,32

Площадь треугольника

A = ½·26,32 = 13,16 m²

Ответ

A = 13,16 m²

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 67,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·2 + 60·3

R_B = 270/4 = 67,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 67,5 = 37,5 kN

Ответ

R_B = 67,5 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: α = 61,65 °

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Составляющие P

P_v = 45·sin 50° = 34,47 kN

P_h = 45·cos 50° = 28,93 kN

Реакции

ΣM_A = 0: R_B·8 = 34,47·6 + 60·2 → R_B = 40,85 kN

A_y = 34,47 + 60 − 40,85 = 53,62 kN

A_x = P_h = 28,93 kN

Направление реакции в A

α = atan(A_y/A_x) = atan(53,62/28,93) = 61,65°

Ответ

α = 61,65°

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 15 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 25 kN (T), FG: 15 kN (C), GH: 25 kN (C), AF: 21,21 kN (C), HE: 35,36 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), BG: 21,21 kN (C), DG: 7,071 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = −2 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·3 − 30·3 → C_y = −3 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − −3 = 28 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−3/0,8321 = 3,606 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(3,606)·0,5547 = −2 kN

Ответ

F_AC = −2 kN (сжатие)

7.Рамы и механизмы

Ответ: C = 3,784 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в затяжке из ножки BC

B_y = 2,5 kN

T = 2,5·2,5/2,2 = 2,841 kN

Составляющие силы в шарнире на BC

C_x = T = 2,841 kN, C_y = −B_y = −2,5 kN

Модуль

C = √(2,841² + 2,5²) = 3,784 kN

Ответ

C = 3,784 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: F = 1549 N

Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а F_in·a = F_out·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).

Угол звена

sin θ = 20/80 = 0,25, θ = 14,48°

Сила в звене

F_link = Q/cos θ = 3098 N

Сила в B

F = 2·F_link·sin θ = 2·3000·tan θ = 1549 N

Ответ

F = 1549 N

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: V_x = −1,5 kN

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·5·2,5

R_B = 37,5/5 = 7,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 7,5 = 7,5 kN

Рассеките в x = 3 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

V = R_A − (все нагрузки вниз левее сечения)

V_x = 7,5 − 3·3 = −1,5 kN

Ответ

V_x = −1,5 kN

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 38,76 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·9 = 45 kN, приложена в x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·9·4,5

R_B = 202,5/8 = 25,31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 25,31 = 19,69 kN

Нулевая поперечная сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 19,69/5 = 3,938 m

Наибольший положительный момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 19,69²/(2·5) = 38,76 kN·m

Ответ

M_max = 38,76 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 18,87 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

стенка: A_w = 18·160 = 2880 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·172,5 + 2880·80)/5880 = 127,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 120·25³/12 + 3000·(172,5 − 127,2)² = 6,314 × 10⁶ mm⁴

стенка: 18·160³/12 + 2880·(80 − 127,2)² = 1,256 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,314 × 10⁶ + 1,256 × 10⁷ = 1,887 × 10⁷ mm⁴ = 18,87 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 18,87 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 272,7 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

стенка: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·185 + 1800·90)/3000 = 128 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 120·10³/12 + 1200·(185 − 128)² = 3,909 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·180³/12 + 1800·(90 − 128)² = 7,459 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,909 × 10⁶ + 7,459 × 10⁶ = 1,137 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 190 − 128 = 62 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·62/1,137 × 10⁷ = 272,7 MPa

Ответ

σ_верх = 272,7 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics