Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярное произведение a·b векторов a = (4, −7, 4) и b = (−6, 3, 1).

a = (4, −7, 4)b = (−6, 3, 1)

a·b =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (−20, −50, 20) N действует в точке A(2, 1, −3). Координаты даны в метрах. Найдите z-компоненту M_z момента силы относительно точка O(−1, −1, −1).

F = (−20, −50, 20) NA(2, 1, −3) mO(−1, −1, −1) m

M_z = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, убывающей от 4 kN/m в A до нуля в B. Кроме того, на расстоянии 1 m от A действует сосредоточенная сила P. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 8 mw₀ = 4 kN/mP = 80 kN в 1 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 3,5 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 1,5 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 3,5 m до свободного конца в точке 5 m. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

AB = 3,5 mAC = 5 mP = 75 kN в 1,5 mw = 8 kN/m от 3,5 до 5 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 3 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 15 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 3 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kNгоризонтальная нагрузка = 25 kN →

F_BC = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 2 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 3,6 m, а горизонтальная затяжка DE — на 1 m над землёй. Вертикальная нагрузка 20 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 0,6 m (по горизонтали) от A. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 20 kNAB = 2 mвысота C = 3,6 mвысота DE = 1 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,6 m

T = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 4,8 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 3,6 m и стянуты горизонтальной перемычкой DE на высоте 1,5 m. В точке C действует горизонтальная сила 2 kN, направленная вправо. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 2 kNAB = 4,8 mвысота C = 3,6 mвысота DE = 1,5 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mw = 6 kN/m от 0 до 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

30 kN @ 6 m60 kN @ 2 m10 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 170 mm и толщиной 20 mm, полную высоту 340 mm и стенку толщиной 8 mm. Найдите его момент сопротивления S_x при изгибе относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 170 mmH = 340 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 120 mm × 300 mm имеет прямоугольный вырез шириной 60 mm и высотой 20 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 90 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 300 mmвырез: 60 × 20 mmцентр отверстия: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: a·b = −41

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножьте соответствующие компоненты и сложите

a·b = 4·(−6) + (−7)·3 + 4·1 = (−24) + (−21) + 4 = −41

Ответ

a·b = −41

Отрицательное: угол между векторами больше 90°.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: M_z = −110 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (2, 1, −3) − (−1, −1, −1) = (3, 2, −2) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 2·20 − (−2)·(−50) = −60 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−2)·(−20) − 3·20 = −20 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 3·(−50) − 2·(−20) = −110 N·m

Искомая компонента

M_z = −110 N·m

Ответ

M_z = −110 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 15,33 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·4·8 = 16 kN

x̄ = L/3 = 2,667 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 16·2,667 + 80·1

R_B = 15,33 kN

R_A = 96 − 15,33 = 80,67 kN

Ответ

R_B = 15,33 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 40,29 kN

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 8·1,5 = 12 kN, x̄ = (3,5 + 5)/2 = 4,25 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·3,5 = 75·1,5 + 12·4,25

R_B = 163,5/3,5 = 46,71 kN

R_A = 87 − 46,71 = 40,29 kN

Ответ

R_A = 40,29 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 9,375 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·3 → C_y = 5,625 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 5,625 = 9,375 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5,625/0,5145 = −10,93 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−10,93)·0,8575 = 9,375 kN

Ответ

F_AC = 9,375 kN (растяжение)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −43,32 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·2 + 25·3 → C_y = 19,38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 19,38 = 20,63 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Узел C

sin γ = 3/6,708 = 0,4472, cos γ = 6/6,708 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −19,38/0,4472 = −43,32 kN

Ответ

F_BC = −43,32 kN (сжатие)

7.Рамы и механизмы

Ответ: T = 2,308 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Вся рама: моменты относительно A

B_y = 20·0,6/2 = 6 kN

Ножка BC: моменты относительно C

6·1 = T·2,6

T = 2,308 kN

Ответ

T = 2,308 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 1,714 kN

Вся рама: моменты относительно A

B_y·4,8 = 2·3,6

B_y = 1,5 kN

Ножка BC: моменты относительно C

1,5·2,4 = T·2,1

T = 1,714 kN

Ответ

T = 1,714 kN

Положительное T означает, что затяжка растянута, как и предполагалось.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 12 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2,5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Рассеките в x = 1 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 15·1 − 6·1·0,5 = 12 kN·m

Ответ

M_x = 12 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 35 kN, R₂ = 95 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 30, M_C = 50, M_D = 0, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −60 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: S_x = 1131 × 10³ mm³

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 340 − 2·20 = 300 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·340³ − 162·300³)/12

I_x = 1,923 × 10⁸ mm⁴

Момент сопротивления сечения

c = H/2 = 170 mm

S_x = I/c = 1,923 × 10⁸/170

S_x = 1,131 × 10⁶ mm³ = 1131 × 10³ mm³

Ответ

S_x = 1131 × 10³ mm³

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 265,5 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (36000·150 − 1200·90)/(36000 − 1200) = 152,1 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·300³/12 + 36000·−2,069² = 270,2 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

60·20³/12 + 1200·−62,07² = 4,663 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 265,5 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 265,5 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics