Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярное произведение a·b векторов a = (0, 6, 2) и b = (−4, −2, 1).

a = (0, 6, 2)b = (−4, −2, 1)

a·b =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите площадь A параллелограмма, построенного на a = (−2, −4, 6) и b = (2, −4, −2).

a = (−2, −4, 6)b = (2, −4, −2)

A =

3.Опорные реакции балокСредняя

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 3,5 m от стены. Найдите вертикальную реакцию R_A в заделке.

L = 4 mP = 30 kN в 3,5 mw = 12 kN/m от 0 до 4 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 5 mP = 40 kN в 4 mw = 4 kN/m от 0 до 3 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 3 mB на расстоянии 5 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kNгоризонтальная нагрузка = 30 kN ←

F_AC = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

Угловой рычаг на рисунке поворачивается вокруг шарнира O. Вертикальная сила 100 N в точке A (150 mm от O) уравновешивается горизонтальной силой в точке B (100 mm выше O). Найдите модуль реакции F_O в шарнире.

F = 100 NOA = 150 mmOB = 100 mm

F_O = N

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 3 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 4 m, а горизонтальная затяжка DE — на 1,5 m над землёй. Вертикальная нагрузка 10 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 0,375 m (по горизонтали) от A. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 10 kNAB = 3 mвысота C = 4 mвысота DE = 1,5 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,375 m

C = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 1 m от A. Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 0,5 m от заделки A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 3 mP = 70 kN в 1 mw = 3 kN/m от 0 до 3 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 50 kN в 2,5 mw = 12 kN/m от 0 до 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 10 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mmM = 10 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: a·b = −10

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножьте соответствующие компоненты и сложите

a·b = 0·(−4) + 6·(−2) + 2·1 = 0 + (−12) + 2 = −10

Ответ

a·b = −10

Отрицательное: угол между векторами больше 90°.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: A = 36,66

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·(−2) − 6·(−4) = 32

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 6·2 − (−2)·(−2) = 8

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−2)·(−4) − (−4)·2 = 16

Площадь

A = |a × b| = √(32² + 8² + 16²) = 36,66

Ответ

A = 36,66

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 78 kN

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 12·4 = 48 kN, x̄ = 2 m

Равновесие по вертикали

R_A = P + W = 30 + 48 = 78 kN

Ответ

R_A = 78 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 35,6 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN, приложена в x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·4 + 4·3·1,5

R_B = 178/5 = 35,6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52 − 35,6 = 16,4 kN

Ответ

R_B = 35,6 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −35,78 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·1 → C_y = 8 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 8 = 32 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −32/0,8944 = −35,78 kN

Ответ

F_AB = −35,78 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 6,111 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·5 − 30·3 → C_y = 18,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 18,33 = 21,67 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18,33/0,9487 = −19,33 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−19,33)·0,3162 = 6,111 kN

Ответ

F_AC = 6,111 kN (растяжение)

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_O = 180,3 N

Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а F_in·a = F_out·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).

Сила в B

Q = 100·150/100 = 150 N

Реакция в шарнире

O_x = 150 N, O_y = 100 N

F_O = √(150² + 100²) = 180,3 N

Ответ

F_O = 180,3 N

8.Рамы и механизмы

Ответ: C = 1,458 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Опорная реакция в B

B_y = 10·0,375/3 = 1,25 kN

Сила в затяжке

T = 1,25·1,5/2,5 = 0,75 kN

Сила в шарнире на BC

C_x = 0,75 kN, C_y = −1,25 kN

C = √(0,75² + 1,25²) = 1,458 kN

Ответ

C = 1,458 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −44,38 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −70·0,5 = −35 kN·m

w: −3·2,5²/2 = −9,375 kN·m

M_x = −35 − 9,375 = −44,38 kN·m

Ответ

M_x = −44,38 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 100 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·2,5 + 12·5·2,5

R_B = 275/5 = 55 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 55 = 55 kN

Рассеките в x = 2,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 55·2,5 − 12·2,5·1,25 = 100 kN·m

Ответ

M_x = 100 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 15,65 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

стенка: A_w = 18·180 = 3240 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·185 + 3240·90)/4240 = 112,4 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·10³/12 + 1000·(185 − 112,4)² = 5,278 × 10⁶ mm⁴

стенка: 18·180³/12 + 3240·(90 − 112,4)² = 1,037 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,278 × 10⁶ + 1,037 × 10⁷ = 1,565 × 10⁷ mm⁴ = 15,65 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 15,65 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 121,7 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

стенка: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·170 + 1600·80)/3600 = 130 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·20³/12 + 2000·(170 − 130)² = 3,267 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·160³/12 + 1600·(80 − 130)² = 7,413 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,267 × 10⁶ + 7,413 × 10⁶ = 1,068 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 130 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·130/1,068 × 10⁷ = 121,7 MPa

Ответ

σ_низ = 121,7 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics