Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Постоянная сила F = (−30, −10, −15) N действует на тело, которое движется по прямой из точки A(3, 0, −4) в точку B(−4, −4, 3). Координаты даны в метрах. Найдите работу W этой силы.

F = (−30, −10, −15) NA(3, 0, −4) mB(−4, −4, 3) m

W = J

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (−40, −60, 0) N действует в точке A(1, −2, 0). Координаты даны в метрах. Найдите z-компоненту M_z момента силы относительно начало координат O(0, 0, 0).

F = (−40, −60, 0) NA(1, −2, 0) mO(0, 0, 0) m

M_z = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, возрастающей от нуля в A до 6 kN/m в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 8 mw₀ = 6 kN/m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 6 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 1 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 6 m до свободного конца в точке 8 m. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

AB = 6 mAC = 8 mP = 25 kN в 1 mw = 10 kN/m от 6 до 8 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 30 kN ↓G: 10 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

B: 10 kN ↓D: 10 kN ↓F: 30 kN ↓G: 25 kN ↓H: 40 kN ↓H: 25 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 4,8 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 4,5 m, а горизонтальная затяжка DE — на 1,8 m над землёй. Вертикальная нагрузка 20 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 1,8 m (по горизонтали) от A. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 20 kNAB = 4,8 mвысота C = 4,5 mвысота DE = 1,8 mгоризонтальное расстояние от A до K = 1,8 m

T = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 3,2 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 4,5 m и стянуты горизонтальной перемычкой DE на высоте 1,8 m. В точке C действует горизонтальная сила 2 kN, направленная вправо. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 2 kNAB = 3,2 mвысота C = 4,5 mвысота DE = 1,8 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 6 mP₁ = 35 kN в 3 mP₂ = 35 kN в 3,5 m

M_max = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 50 kN в 2,5 mw = 3 kN/m от 0 до 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 120 mm × 200 mm имеет круглое отверстие диаметром 60 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 80 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 200 mmd = 60 mmцентр отверстия: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 35 MPa при растяжении и 90 MPa при сжатии. Найдите наибольший отрицательный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка (укажите его величину).

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: W = 145 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемещение

d = B − A = (−4, −4, 3) − (3, 0, −4) = (−7, −4, 7) m

Работа

W = F·d = (−30)·(−7) + (−10)·(−4) + (−15)·7 = 145 J

Ответ

W = 145 J

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: M_z = −140 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (1, −2, 0) − (0, 0, 0) = (1, −2, 0) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−2)·0 − 0·(−60) = 0 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 0·(−40) − 1·0 = 0 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 1·(−60) − (−2)·(−40) = −140 N·m

Искомая компонента

M_z = −140 N·m

Ответ

M_z = −140 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 16 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·6·8 = 24 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 24·5,333

R_B = 16 kN

R_A = 24 − 16 = 8 kN

Ответ

R_B = 16 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 17,5 kN

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 10·2 = 20 kN, x̄ = (6 + 8)/2 = 7 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·1 + 20·7

R_B = 165/6 = 27,5 kN

R_A = 45 − 27,5 = 17,5 kN

Ответ

R_A = 17,5 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 36,67 kN (T), BC: 33,33 kN (T), CD: 33,33 kN (T), DE: 16,67 kN (T), FG: 36,67 kN (C), GH: 16,67 kN (C), AF: 45,83 kN (C), HE: 20,83 kN (C), BF: 27,5 kN (T), CG: 0, DH: 12,5 kN (T), BG: 4,167 kN (T), DG: 20,83 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 36,25 kN (T), BC: 57,5 kN (T), CD: 57,5 kN (T), DE: 53,75 kN (T), FG: 61,25 kN (C), GH: 78,75 kN (C), AF: 86,62 kN (C), HE: 76,01 kN (C), BF: 31,25 kN (T), CG: 0, DH: 13,75 kN (T), BG: 30,05 kN (C), DG: 5,303 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: T = 6,667 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Вся рама: моменты относительно A

B_y = 20·1,8/4,8 = 7,5 kN

Ножка BC: моменты относительно C

7,5·2,4 = T·2,7

T = 6,667 kN

Ответ

T = 6,667 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 1,667 kN

Вся рама: моменты относительно A

B_y·3,2 = 2·4,5

B_y = 2,813 kN

Ножка BC: моменты относительно C

2,813·1,6 = T·2,7

T = 1,667 kN

Ответ

T = 1,667 kN

Положительное T означает, что затяжка растянута, как и предполагалось.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 96,25 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·3 + 35·3,5

R_B = 227,5/6 = 37,92 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 37,92 = 32,08 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·3 = 32,08·3 = 96,25 kN·m

под P₂: M = R_B·2,5 = 37,92·2,5 = 94,79 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 96,25 kN·m (под P₁)

Ответ

M_max = 96,25 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 52,5 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·2,5 + 3·4·2

R_B = 149/4 = 37,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 62 − 37,25 = 24,75 kN

Рассеките в x = 2,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 24,75·2,5 − 3·2,5·1,25 = 52,5 kN·m

Ответ

M_x = 52,5 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 78,08 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (24000·100 − 2827·80)/(24000 − 2827) = 102,7 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·200³/12 + 24000·−2,671² = 80,17 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−22,67² = 2,089 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 78,08 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 78,08 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 11,99 kN·m

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Центр тяжести

ȳ = (5600·190 + 2160·90)/7760 = 162,2 mm

верхняя кромка: c = 200 − 162,2 = 37,84 mm

Момент инерции сечения

I = 280·20³/12 + 5600·27,84² + 12·180³/12 + 2160·72,16² = 2,161 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Отрицательный момент: верх растянут, низ сжат.

верхняя кромка: M = 35·2,161 × 10⁷/37,84 = 19,99 kN·m

нижняя кромка: M = 90·2,161 × 10⁷/162,2 = 11,99 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 11,99 kN·m (нижняя кромка)

Ответ

M_allow = 11,99 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics