Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.
Рамы и механизмы
Равновесие каждого элемента
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент
сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире
равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире
F = √(Fx² + Fy²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг
Fin·a = Fout·b
Коленно-рычажный механизм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Метод
Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0; составляющие объедините в модуль в конце.
Поперечная сила и изгибающий момент
Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8
Метод
Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.
Центр тяжести и момент инерции
Центр тяжести
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямоугольник
I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей
I = Ic + A·d²
Составное сечение
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Тренировочные задачи
1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя
Найдите скалярную проекцию compb a вектора a = (−7, −5, −4) на b = (−5, 1, −3), то есть компоненту a в направлении b.
a = (−7, −5, −4)b = (−5, 1, −3)
compb a =
2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная
Единичный вектор n̂ перпендикулярен обоим векторам a = (−1, −5, −4) и b = (−5, 2, 4) и имеет положительную z-компоненту. Найдите его x-компоненту n̂x.
a = (−1, −5, −4)b = (−5, 2, 4)n̂z > 0
n̂x =
3.Опорные реакции балокСредняя
Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.
L = 10 mP1 = 25 kN в 5 mP2 = 55 kN в 9 m
RB = kN
4.Опорные реакции балокСложная
Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 2,5 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 6 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 5 m от A и сосредоточенной силой Q на расстоянии 1,5 m от A. Найдите реакцию RD подвижной опоры.
AC = 2,5 mAD = 6 mP = 15 kN в 5 mQ = 55 kN в 1,5 m
RD = kN
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.
B: 20 kN ↓D: 10 kN ↓F: 15 kN ↓G: 30 kN ↓
1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
Методом вырезания узлов найдите усилие FAC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.
пролёт = 8 mвысота = 2 mB на расстоянии 7 m от Aвертикальная нагрузка = 55 kNгоризонтальная нагрузка = 5 kN →
FAC = kN
7.Рамы и механизмыСредняя
В показанном коленно-рычажном зажиме два равных звена AB и BC соединены шарниром в B, и каждое составляет угол 30° с прямой AC. В точке B приложена направленная вниз сила 250 N. Ползун C прижимает заготовку. Пренебрегая трением и весом, найдите горизонтальную зажимную силу Q.
F = 250 Nθ = 30°
Q = N
8.Рамы и механизмыСложная
Коленно-рычажный пресс имеет два равных звена AB и BC длиной 120 mm между шарнирами каждое. Шарнир B находится на 10 mm выше прямой AC. Какая направленная вниз сила F в точке B создаёт горизонтальную силу прессования 2000 N на ползуне C? Трением и весом пренебрегите.
Q = 2000 NAB = BC = 120 mmh = 10 mm
F = N
9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M0 = 20 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 1,5 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент Mx сразу слева от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.
L = 5 mM0 = 20 kN·m по часовой стрелке, в точке 1,5 m
Mx = kN·m
10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.
20 kN @ 0 m15 kN @ 12 m40 kN @ 4 m12 kN/m, 2–8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя
Круглая труба имеет наружный диаметр D = 140 mm и внутренний диаметр d = 120 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.
D = 140 mmd = 120 mm
r = mm
12.Центр тяжести и момент инерцииСложная
Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 5 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σверх на верхнем крае.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Скалярное произведение
a·b = (−7)·(−5) + (−5)·1 + (−4)·(−3) = 42
Длина b
|b| = √((−5)² + 1² + (−3)²) = 5,916
Скалярная проекция
compb a = a·b/|b| = 42/5,916 = 7,099
Ответ
compb a = 7,099
2.Векторы: скалярное и векторное произведения
Ответ: n̂x = 0,3152
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Векторное произведение
(a × b)x = aybz − azby = (−5)·4 − (−4)·2 = −12
(a × b)y = azbx − axbz = (−4)·(−5) − (−1)·4 = 24
(a × b)z = axby − aybx = (−1)·2 − (−5)·(−5) = −27
Нормирование
z-компонента a × b отрицательна, поэтому берите −(a × b).
Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.
Расчётная схема
Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.
Равновесие
Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.
ΣMA = 0: RB·10 = 25·5 + 55·9
RB = 620/10 = 62 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 62 = 18 kN
Ответ
RB = 62 kN
4.Опорные реакции балок
Ответ: RD = 10,71 kN
Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.
Часть CD
В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.
ΣMC = 0: RD·3,5 = 15·2,5
RD = 10,71 kN
VC = 15 − 10,71 = 4,286 kN
Ответ
RD = 10,71 kN
5.Ферма: метод вырезания узлов
Ответ: элемент CG
Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.
Узел C
BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Проверка методом вырезания узлов
Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).
Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.
Опорные реакции
Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.
ΣMA = 0: Cy·8 = 55·7 + 5·2 → Cy = 49,38 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 49,38 = 5,625 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN
Узел C
Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а Fin·a = Fout·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).
Равновесие шарнира B
2·Flink·sin 30° = 250
Flink = 250 N
Зажимная сила
Q = Flink·cos 30° = 250/(2·tan 30°) = 216,5 N
Ответ
Q = 216,5 N
Отношение сил Q/F = 0,866 неограниченно растёт по мере выпрямления звеньев.
8.Рамы и механизмы
Ответ: F = 334,5 N
Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а Fin·a = Fout·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).
Угол звена
sin θ = 10/120 = 0,08333, θ = 4,78°
Сила в звене
Flink = Q/cos θ = 2007 N
Сила в B
F = 2·Flink·sin θ = 2·2000·tan θ = 334,5 N
Ответ
F = 334,5 N
9.Поперечная сила и изгибающий момент
Ответ: Mx = −6 kN·m
Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.
Опорные реакции
Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: RB·L − M0 = 0. Равновесие по вертикали: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 20/5 = 4 kN (вверх)
RA = −RB = −4 kN (вниз)
Сечение сразу слева от сосредоточенного момента
Левая часть содержит только RA.
Mx = RA·a = −4·1,5 = −6 kN·m
Ответ
Mx = −6 kN·m
10.Поперечная сила и изгибающий момент
Ответ: E (x = 8 m)
Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.
Опорные реакции
Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.
R1 = 79,33 kN, R2 = 67,67 kN
Изгибающий момент в каждой отметке
Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.
MA = 0, MB = −40, MC = 54,67, MD = 21,33, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0
Ответ
Отметка E: ME = −60 kN·m
11.Центр тяжести и момент инерции
Ответ: r = 46,1 mm
Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = Ic + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.
Площадь и момент инерции нетто
A = π(D² − d²)/4 = 4084 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 8,679 × 10⁶ mm⁴
Радиус инерции
r = √(I/A) = √(8,679 × 10⁶/4084) = 46,1 mm
Ответ
r = 46,1 mm
12.Центр тяжести и момент инерции
Ответ: σверх = 13,39 MPa
Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.
Разбейте на два прямоугольника
Отсчитывайте каждое y от нижнего края.
полка: Af = 280·15 = 4200 mm², yf = 140 + 15/2 = 147,5 mm
стенка: Aw = 18·140 = 2520 mm², yw = 140/2 = 70 mm