Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (1, 4, −5) на b = (−6, −2, −5), то есть компоненту a в направлении b.

a = (1, 4, −5)b = (−6, −2, −5)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Для a = (−5, −4, 6) и b = (−6, −1, −6) найдите z-компоненту (a × b)_z векторного произведения a × b.

a = (−5, −4, 6)b = (−6, −1, −6)

(a × b)_z =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 5 mP₁ = 15 kN в 2 mP₂ = 45 kN в 3 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 4 mP = 15 kN в 3 mw = 8 kN/m от 2 до 3 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 25 kN ↓F: 25 kN ↓H: 40 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

B: 25 kN ↓F: 20 kN →G: 15 kN ↓H: 40 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 5 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 3,6 m, а горизонтальная затяжка DE находится на 1,8 m над землёй. В точке C действует нагрузка 20 kN. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 20 kNAB = 5 mвысота C = 3,6 mвысота DE = 1,8 m

C = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 2 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 2 m и стянуты горизонтальной перемычкой DE на высоте 0,6 m. В точке C действует горизонтальная сила 5 kN, направленная вправо. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 5 kNAB = 2 mвысота C = 2 mвысота DE = 0,6 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

20 kN @ 2 m10 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 8 mP = 55 kN в 6 mw = 12 kN/m от 0 до 8 m

M_max = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Круглая труба имеет наружный диаметр D = 120 mm и внутренний диаметр d = 100 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

D = 120 mmd = 100 mm

r = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Симметричный двутавр имеет полки шириной 130 mm и толщиной 22 mm, полную высоту 300 mm и стенку толщиной 10 mm. Оно воспринимает изгибающий момент 100 kN·m относительно оси x. Найдите величину наибольшего нормального напряжения при изгибе σ_max в сечении.

B = 130 mmH = 300 mmt_f = 22 mmt_w = 10 mmM = 100 kN·m

σ_max = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = 1,364

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = 1·(−6) + 4·(−2) + (−5)·(−5) = 11

Длина b

|b| = √((−6)² + (−2)² + (−5)²) = 8,062

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = 11/8,062 = 1,364

Ответ

comp_b a = 1,364

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: (a × b)_z = −19

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение по компонентам

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·(−6) − 6·(−1) = 30

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 6·(−6) − (−5)·(−6) = −66

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·(−1) − (−4)·(−6) = −19

Искомая компонента

(a × b)_z = −19

Ответ

(a × b)_z = −19

Проверка: a × b перпендикулярно обоим векторам, поэтому его скалярные произведения с a и с b равны нулю.

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 33 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·2 + 45·3

R_B = 165/5 = 33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 33 = 27 kN

Ответ

R_B = 33 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 6,75 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·3 + 8·1·2,5

R_B = 65/4 = 16,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 23 − 16,25 = 6,75 kN

Ответ

R_A = 6,75 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 35 kN (T), BC: 45 kN (T), CD: 45 kN (T), DE: 55 kN (T), FG: 35 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 49,5 kN (C), HE: 77,78 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), BG: 14,14 kN (C), DG: 14,14 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 51,25 kN (T), BC: 57,5 kN (T), CD: 57,5 kN (T), DE: 48,75 kN (T), FG: 51,25 kN (C), GH: 48,75 kN (C), AF: 44,19 kN (C), HE: 68,94 kN (C), BF: 31,25 kN (T), CG: 0, DH: 8,75 kN (T), BG: 8,839 kN (C), DG: 12,37 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: C = 17,11 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в затяжке из ножки BC

B_y = 10 kN

T = 10·2,5/1,8 = 13,89 kN

Составляющие силы в шарнире на BC

C_x = T = 13,89 kN, C_y = −B_y = −10 kN

Модуль

C = √(13,89² + 10²) = 17,11 kN

Ответ

C = 17,11 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 3,571 kN

Вся рама: моменты относительно A

B_y·2 = 5·2

B_y = 5 kN

Ножка BC: моменты относительно C

5·1 = T·1,4

T = 3,571 kN

Ответ

T = 3,571 kN

Положительное T означает, что затяжка растянута, как и предполагалось.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 16,67 kN, R₂ = 13,33 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 16,67, M_C = 33,33 kN·m, M_D = 30, M_E = 26,67, M_F = 13,33, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 33,33 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 158,9 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·6 + 12·8·4

R_B = 714/8 = 89,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 151 − 89,25 = 61,75 kN

Где V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 61,75/12 = 5,146 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 61,75·5,146 − 12·5,146²/2 = 158,9 kN·m

Ответ

M_max = 158,9 kN·m

Он достигается при x = 5,146 m от A.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 39,05 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

A = π(D² − d²)/4 = 3456 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 5,27 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(5,27 × 10⁶/3456) = 39,05 mm

Ответ

r = 39,05 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_max = 120,3 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 300 − 2·22 = 256 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·300³ − 120·256³)/12

I_x = 1,247 × 10⁸ mm⁴

Напряжение изгиба

y = 150 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·150/1,247 × 10⁸ = 120,3 MPa

Ответ

σ_max = 120,3 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics