Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярное произведение a·b векторов a = (−7, 7, −7) и b = (−4, 4, 6).

a = (−7, 7, −7)b = (−4, 4, 6)

a·b =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (−40, −60, 20) N действует в точке A(3, 4, 2). Координаты даны в метрах. Найдите z-компоненту M_z момента силы относительно точка O(1, 0, −1).

F = (−40, −60, 20) NA(3, 4, 2) mO(1, 0, −1) m

M_z = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, убывающей от 15 kN/m в A до нуля в B. Кроме того, на расстоянии 2 m от A действует сосредоточенная сила P. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 10 mw₀ = 15 kN/mP = 20 kN в 2 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 10 mP = 25 kN в 6 mw = 2 kN/m от 2 до 7 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

C: 20 kN ↓D: 10 kN ↓G: 25 kN ↓H: 10 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

F: 35 kN ↓H: 30 kN ↓H: 30 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

7.Рамы и механизмыСредняя

Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 1 m ниже A. В точке B подвешена нагрузка 12 kN. Весом пренебрегите. Найдите модуль силы A в шарнире, действующей на балку в A.

P = 12 kNAD = 0,75 mAB = 2 mAC = 1 m

A = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Балка AB показанного настенного кронштейна закреплена шарниром в A и подпёрта стойкой CD (C находится на 1,5 m ниже A). Балка несёт равномерную нагрузку 3 kN/m по всей длине и сосредоточенную нагрузку 4 kN на свободном конце B. Найдите силу F_CD в стойке.

w = 3 kN/mP = 4 kNAD = 1 mAB = 3 mAC = 1,5 m

F_CD = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

15 kN @ 10 m10 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

20 kN @ 0 m50 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 300 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 120 mm. Толщина основания и полок 20 mm. Найдите высоту ȳ центра тяжести над нижней кромкой.

b = 300 mmh = 120 mmt = 20 mm

ȳ = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 120 × 18 mm, стенку высотой 240 mm и толщиной 16 mm и нижнюю полку 150 × 22 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 120 × 18 mmстенка: 16 × 240 mmнижняя полка: 150 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: a·b = 14

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножьте соответствующие компоненты и сложите

a·b = (−7)·(−4) + 7·4 + (−7)·6 = 28 + 28 + (−42) = 14

Ответ

a·b = 14

Положительное: угол между векторами меньше 90°.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: M_z = 40 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (3, 4, 2) − (1, 0, −1) = (2, 4, 3) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 4·20 − 3·(−60) = 260 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 3·(−40) − 2·20 = −160 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 2·(−60) − 4·(−40) = 40 N·m

Искомая компонента

M_z = 40 N·m

Ответ

M_z = 40 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 66 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·15·10 = 75 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 75·3,333 + 20·2

R_B = 29 kN

R_A = 95 − 29 = 66 kN

Ответ

R_A = 66 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 15,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, приложена в x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·6 + 2·5·4,5

R_B = 195/10 = 19,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 19,5 = 15,5 kN

Ответ

R_A = 15,5 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 27,5 kN (T), BC: 27,5 kN (T), CD: 37,5 kN (T), DE: 37,5 kN (T), FG: 55 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 38,89 kN (C), HE: 53,03 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 38,89 kN (T), HC: 24,75 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 11,25 kN (T), BC: 17,5 kN (T), CD: 17,5 kN (T), DE: 23,75 kN (T), FG: 41,25 kN (C), GH: 53,75 kN (C), AF: 58,34 kN (C), HE: 33,59 kN (C), BF: 6,25 kN (T), CG: 0, DH: 6,25 kN (C), BG: 8,839 kN (C), DG: 8,839 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: A = 31,24 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в стойке

F_CD = 12·2/(0,8·0,75) = 40 kN

Составляющие в A

A_x = F_CD·cos α = 24 kN (к стене)

A_y = 12 − F_CD·sin α = −20 kN

Модуль

A = √(24² + −20²) = 31,24 kN

Ответ

A = 31,24 kN

Отрицательное A_y означает, что стена тянет балку вниз в точке A.

8.Рамы и механизмы

Ответ: F_CD = 30,65 kN

Равнодействующая равномерной нагрузки

w·L = 3·3 = 9 kN в 1,5 m

Моменты относительно A для балки

F_CD·0,8321·1 = 9·1,5 + 4·3 = 25,5 kN·m

F_CD = 30,65 kN

Ответ

F_CD = 30,65 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 6 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 7,5 kN, R₂ = 17,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 15, M_C = 30, M_D = 45 kN·m, M_E = 40, M_F = 35, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 45 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: F (x = 10 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 12,5 kN, R₂ = 57,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = −40, M_C = −55, M_D = −70, M_E = −85, M_F = −100 kN·m, M_G = 0

Ответ

Отметка F: M_F = −100 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: ȳ = 34 mm

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 300·20 = 6000 mm², y₁ = 10 mm

две полки: A₂ = 2·20·100 = 4000 mm², y₂ = 20 + 100/2 = 70 mm

Центр тяжести

ȳ = (6000·10 + 4000·70)/10000 = 34 mm

Ответ

ȳ = 34 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 108,7 × 10⁶ mm⁴

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 2160 mm², y = 271 mm

стенка: A = 3840 mm², y = 142 mm

нижняя полка: A = 3300 mm², y = 11 mm

Центр тяжести

ȳ = (2160·271 + 3840·142 + 3300·11)/9300 = 125,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 120·18³/12 + 2160·145,5² = 4,58 × 10⁷ mm⁴

стенка: 16·240³/12 + 3840·16,52² = 1,948 × 10⁷ mm⁴

нижняя полка: 150·22³/12 + 3300·114,5² = 4,338 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,58 × 10⁷ + 1,948 × 10⁷ + 4,338 × 10⁷

I_x = 1,087 × 10⁸ mm⁴ = 108,7 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 108,7 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics