Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (−7, 7, −6) на b = (−4, 5, 6), то есть компоненту a в направлении b.

a = (−7, 7, −6)b = (−4, 5, 6)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Для a = (2, 2, −5) и b = (−5, 0, 3) найдите z-компоненту (a × b)_z векторного произведения a × b.

a = (2, 2, −5)b = (−5, 0, 3)

(a × b)_z =

3.Опорные реакции балокСредняя

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 4,5 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

AB = 4,5 mAC = 6 mP₁ = 65 kN в 1 mP₂ = 25 kN в 6 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 3,5 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 6 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 4 m от A и сосредоточенной силой Q на расстоянии 2,5 m от A. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

AC = 3,5 mAD = 6 mP = 55 kN в 4 mQ = 35 kN в 2,5 m

M_A = kN·m

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 2 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 35 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 3 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 60 kNгоризонтальная нагрузка = 30 kN ←

F_AB = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

В показанном коленно-рычажном зажиме два равных звена AB и BC соединены шарниром в B, и каждое составляет угол 8° с прямой AC. В точке B приложена направленная вниз сила 100 N. Ползун C прижимает заготовку. Пренебрегая трением и весом, найдите горизонтальную зажимную силу Q.

F = 100 Nθ = 8°

Q = N

8.Рамы и механизмыСложная

Коленно-рычажный пресс имеет два равных звена AB и BC длиной 200 mm между шарнирами каждое. Шарнир B находится на 12 mm выше прямой AC. Какая направленная вниз сила F в точке B создаёт горизонтальную силу прессования 3000 N на ползуне C? Трением и весом пренебрегите.

Q = 3000 NAB = BC = 200 mmh = 12 mm

F = N

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 6 mP₁ = 70 kN в 4 mP₂ = 45 kN в 5 m

M_max = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 5 mP = 50 kN в 3 mw = 5 kN/m от 0 до 5 m

M_max = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 150 mm × 300 mm имеет круглое отверстие диаметром 30 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 180 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 300 mmd = 30 mmцентр отверстия: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Симметричный двутавр имеет полки шириной 110 mm и толщиной 14 mm, полную высоту 200 mm и стенку толщиной 12 mm. Оно воспринимает изгибающий момент 60 kN·m относительно оси x. Найдите величину нормального напряжения при изгибе σ_j в месте сопряжения стенки с верхней полкой.

B = 110 mmH = 200 mmt_f = 14 mmt_w = 12 mmM = 60 kN·m

σ_j = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = 3,077

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−7)·(−4) + 7·5 + (−6)·6 = 27

Длина b

|b| = √((−4)² + 5² + 6²) = 8,775

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = 27/8,775 = 3,077

Ответ

comp_b a = 3,077

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: (a × b)_z = 10

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение по компонентам

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·3 − (−5)·0 = 6

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·(−5) − 2·3 = 19

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·0 − 2·(−5) = 10

Искомая компонента

(a × b)_z = 10

Ответ

(a × b)_z = 10

Проверка: a × b перпендикулярно обоим векторам, поэтому его скалярные произведения с a и с b равны нулю.

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 42,22 kN

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·4,5 = 65·1 + 25·6

R_B = 215/4,5 = 47,78 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 65 + 25 − 47,78 = 42,22 kN

Ответ

R_A = 42,22 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 241,5 kN·m

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.

Часть CD

В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.

ΣM_C = 0: R_D·2,5 = 55·0,5

R_D = 11 kN

V_C = 55 − 11 = 44 kN

Часть AC

Сила в шарнире V_C действует на AC вниз (равна по величине и противоположна её действию на CD).

R_A = 35 + 44 = 79 kN

M_A = 35·2,5 + 44·3,5 = 241,5 kN·m

Ответ

M_A = 241,5 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 32,81 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·3 → C_y = 13,13 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 13,13 = 21,88 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13,13/0,3714 = −35,34 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−35,34)·0,9285 = 32,81 kN

Ответ

F_AC = 32,81 kN (растяжение)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −68,94 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·3 − 30·3 → C_y = 11,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 11,25 = 48,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −48,75/0,7071 = −68,94 kN

Ответ

F_AB = −68,94 kN (сжатие)

7.Рамы и механизмы

Ответ: Q = 355,8 N

Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а F_in·a = F_out·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).

Равновесие шарнира B

2·F_link·sin 8° = 100

F_link = 359,3 N

Зажимная сила

Q = F_link·cos 8° = 100/(2·tan 8°) = 355,8 N

Ответ

Q = 355,8 N

Отношение сил Q/F = 3,558 неограниченно растёт по мере выпрямления звеньев.

8.Рамы и механизмы

Ответ: F = 360,6 N

Угол звена

sin θ = 12/200 = 0,06, θ = 3,44°

Сила в звене

F_link = Q/cos θ = 3005 N

Сила в B

F = 2·F_link·sin θ = 2·3000·tan θ = 360,6 N

Ответ

F = 360,6 N

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 123,3 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 70·4 + 45·5

R_B = 505/6 = 84,17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 84,17 = 30,83 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·4 = 30,83·4 = 123,3 kN·m

под P₂: M = R_B·1 = 84,17·1 = 84,17 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 123,3 kN·m (под P₁)

Ответ

M_max = 123,3 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 75 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·3 + 5·5·2,5

R_B = 212,5/5 = 42,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 42,5 = 32,5 kN

Где V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 17,5 kN

V(3⁺) = 17,5 − 50 = −32,5 kN

Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 32,5·3 − 5·3²/2 = 75 kN·m

Ответ

M_max = 75 kN·m

Он достигается при x = 3 m от A.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 336,8 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (45000·150 − 706,9·180)/(45000 − 706,9) = 149,5 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·300³/12 + 45000·0,4788² = 337,5 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·30,48² = 0,6964 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 336,8 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 336,8 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_j = 162,4 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 200 − 2·14 = 172 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·200³ − 98·172³)/12

I_x = 3,178 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

y = 100 − 14 = 86 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·86/3,178 × 10⁷ = 162,4 MPa

Ответ

σ_j = 162,4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics